超階乗
超階乗
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/18 08:10 UTC 版)
詳細は「超階乗」を参照 Pickover (1995) の超階乗（superfactorial）は、階乗を入れ子に拡張したものである。ドル記号$を用いて書かれる。またLawrence Hollom氏が開発した超階乗配列表記は階乗をベースとした配列表記で従来の階乗や超階乗より遥かに大きな増加速度を持つ。 定義 n $ = n ! n ! = n ! n ! n ! ⋅ ⋅ ⋅ n ! ⏟ n ! {\displaystyle n\$={}^{n!}n!=\underbrace {n!^{n!^{\scriptstyle n!^{{\textstyle \,\cdot }^{{\textstyle \,\cdot }^{{\textstyle \,\cdot \,}^{\scriptstyle n!}}}}}}} _{n!}} nが3以上になると、非常に大きい値になる。 これとは異なる種類の超階乗の定義がある。Neil J. A. Sloane and Simon Plouffe (1995) The Encyclopedia of Integer Sequences は、超階乗（superfactorial）を定義した。例として、4の超階乗は次のようになる。 s f ( 4 ) = 1 ! × 2 ! × 3 ! × 4 ! = 288. {\displaystyle \mathrm {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288.\,} 一般的にこの定義における超階乗は下の式で定義される。 定義 s f ( n ) = ∏ k = 1 n k ! = ∏ k = 1 n k n − k + 1 = 1 n ⋅ 2 n − 1 ⋅ 3 n − 2 ⋅ 4 n − 3 ⋯ ( n − 1 ) 2 ⋅ n 1 . {\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdot 4^{n-3}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.} これは以下と同値: s f ( n ) = ∏ 0 ≤ i < j ≤ n ( j − i ) . {\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(j-i).} 最初のいくつかの値は、次のようになる: 1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, …… A000178 超階乗は、複素数値にも拡張できる。その結果はバーンズのG関数と呼ばれる。定義は次のようになる。 G ( z + 1 ) = ( 2 π ) z / 2 exp ( − z + z 2 ( 1 + γ ) 2 ) ∏ k = 1 ∞ { ( 1 + z k ) k exp ( z 2 2 k − z ) } {\displaystyle G(z+1)=(2\pi )^{z/2}{\text{exp}}\left(-{\frac {z+z^{2}(1+\gamma )}{2}}\right)\,\prod _{k=1}^{\infty }\left\{\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{k}{\text{exp}}\left({\frac {z^{2}}{2k}}-z\right)\right\}} 自然数に対しては、以下が成り立っている。 G ( n + 2 ) = s f ( n ) = { 0 if n = − 1 , − 2 , … ∏ i = 0 n i ! if n = 0 , 1 , 2 , … {\displaystyle G(n+2)=\mathrm {sf} (n)={\begin{cases}0&{\text{if }}n=-1,-2,\dots \\\prod _{i=0}^{n}i!&{\text{if }}n=0,1,2,\dots \end{cases}}}
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