特別な元
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/02/06 14:14 UTC 版)
「隣接代数 (順序理論)」の記事における「特別な元」の解説
デルタ函数 隣接代数は乗法単位元をもち、それは以下で定義されるデルタ函数である。 δ ( a , b ) = { 1 if a = b 0 if a < b . {\displaystyle \delta (a,b)={\begin{cases}1&{\text{if }}a=b\\0&{\text{if }}a<b.\end{cases}}} ゼータ函数 隣接代数の「ゼータ関数」とは、すべての区間 [a, b] に対し、ζ(a,b) = 1 となるような定数関数である。ζ を掛けることは積分に相当する。 メビウス函数 ζ は隣接代数において（上で定義した畳み込みに対して）可逆であることを示すことができる。（一般に、隣接代数の元 h が可逆であるための必要十分条件は任意の x に対して h(x,x) が可逆であることである。）ゼータ関数の乗法逆元は、メビウス関数 μ(a, b) である。メビウス関数の値は常に、係数環の単位元 1 の整数倍である。 メビウス関数は次のように帰納的に定義することもできる： μ ( x , y ) = { 1 if x = y − ∑ z : x ≤ z < y μ ( x , z ) for x < y 0 otherwise . {\displaystyle \mu (x,y)={\begin{cases}{}\qquad 1&{\textrm {if}}\quad x=y\\[6pt]\displaystyle -\sum _{z\,:\,x\leq z<y}\mu (x,z)&{\textrm {for}}\quad x<y\\[6pt]{}\qquad 0&{\textrm {otherwise}}.\end{cases}}} μ を掛けることは微分に相当し、それはメビウス反転とも呼ばれる。
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