整数の全体 Z
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/04/29 19:02 UTC 版)
自然数の全体に通常の大小関係を考えたものとは異なり、整数全体の成す集合 Z に通常の大小関係 ≤ を考えたものは整列集合ではない。たとえば、負の整数全体の成す集合には最小元が存在しない。 たとえば、次のような二項関係 R を考えれば、Z を整列集合にすることができる。 ふたつの整数 x, y に対して、xRy となるための必要十分条件は x = 0; x が正で y が負; x, y がともに正で、x ≤ y; x, y がともに負で |x| ≤ |y| のうちのいずれか一つが成立することと定める。この関係 R は要するに 0, 1, 2, 3, 4, …, −1, −2, −3, … となる順序として表すことができる。この整列順序 R に関する整列集合 Z の順序型は順序数 ω + ω に順序同型である。 Z の別な整列順序の例としては、x ≤Z y ⇔ |x| < |y| または [|x| = |y| かつ x ≤ y] として定まる順序 ≤Z が挙げられる。図示すれば 0, −1, 1, −2, 2, −3, 3, −4, 4, … である。これは ω を順序型とする整列順序である。
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