数列空間の場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/13 01:23 UTC 版)
自乗総和可能な複素数列の空間 ℓ2 とは、各項が複素数の無限数列 ( c 1 , c 2 , c 3 , … ) {\displaystyle (c_{1},c_{2},c_{3},\dots )} で、条件 | c 1 | 2 + | c 2 | 2 + | c 3 | 2 + ⋯ < ∞ {\displaystyle |c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}+|c_{3}|^{2}+\cdots <\infty } を満たすもの全体からなる集合（に、項ごとの和、スカラー倍、標準内積を入れたもの）である。この空間には標準的な正規直交基底 e 1 = ( 1 , 0 , 0 , … ) e 2 = ( 0 , 1 , 0 , … ) ⋮ {\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=(1,0,0,\dots )\\e_{2}&=(0,1,0,\dots )\\&\quad \vdots \end{aligned}}} が存在する。より一般に、任意の集合 B に対して、B 上の自乗総和可能数列の成す空間 ℓ2(B) が ℓ 2 ( B ) = { x : B → C | ∑ b ∈ B | x ( b ) | 2 < ∞ } {\displaystyle \ell ^{2}(B)=\left\{x\colon B\to \mathbb {C} \ \left|\quad \sum _{b\in B}|x(b)|^{2}<\infty \right.\right\}} で定義される。ただし B 上の総和というのを、ここでは ∑ b ∈ B | x ( b ) | 2 = sup ∑ n = 1 N | x ( b n ) | 2 {\displaystyle \sum _{b\in B}|x(b)|^{2}=\sup \sum _{n=1}^{N}|x(b_{n})|^{2}} で定める（上限は B の有限部分空間すべてに亘って取る）。このようにすると、この和が有限であるところの ℓ2(B) の各元は、可算個の例外を除いた全ての項が 0 になることがわかる。ℓ2(B) の任意の元 x, y に対して、 ⟨ x , y ⟩ = ∑ b ∈ B x ( b ) y ( b ) ¯ {\displaystyle \langle x,y\rangle =\sum _{b\in B}x(b){\overline {y(b)}}} と内積を定めれば、この空間は実際にヒルベルト空間となる。右辺の和は、0 でない項が高々可算個しかないから意味を持ち、またコーシー・シュヴァルツの不等式によって無条件収束であることがわかる。 ℓ2(B) の正規直交基底の一つは、 e b ( b ′ ) = { 1 if b = b ′ 0 otherwise. {\displaystyle e_{b}(b')={\begin{cases}1&{\text{if }}b=b'\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}} で与えられる B で添字付けられた族によって与えられる。
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