形式的べき級数の種数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/01/29 03:31 UTC 版)
「乗法列の種数」の記事における「形式的べき級数の種数」の解説
詳細は「乗法列（英語版） 」を参照 p1, p2, … を変数とする多項式列 K1,, K2, … が乗法的(multiplicative) とは、 1 + p 1 z + p 2 z 2 + ⋯ = ( 1 + q 1 z + q 2 z 2 + ⋯ ) ( 1 + r 1 z + r 2 z 2 + ⋯ ) {\displaystyle 1+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\dots =(1+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots )(1+r_{1}z+r_{2}z^{2}+\cdots )} ならば Σ K j ( p 1 , p 2 , ⋯ ) z j = Σ K j ( q 1 , q 2 , ⋯ ) z j Σ K k ( r 1 , r 2 , ⋯ ) z k {\displaystyle \Sigma K_{j}(p_{1},p_{2},\cdots )z^{j}=\Sigma K_{j}(q_{1},q_{2},\cdots )z_{j}\Sigma K_{k}(r_{1},r_{2},\cdots )z_{k}} を満たすことを言う。z を変数とする形式的冪級数 Q(z) が定数項 1 を持つとき、乗法列 K = 1 + K 1 + K 2 + ⋯ {\displaystyle K=1+K_{1}+K_{2}+\cdots } を K ( p 1 , p 2 , p 3 , ⋯ ) = Q ( z 1 ) Q ( z 2 ) Q ( z 3 ) ⋯ {\displaystyle K(p_{1},p_{2},p_{3},\cdots )=Q(z_{1})Q(z_{2})Q(z_{3})\cdots } と置くことによって定義できる。ここに pk は、不定元 zi たちの k-次基本対称函数（英語版）（基本対称式）である。X が向きの付いた多様体で、pk を X のポントリャーギン類とするとき、Q に対応する向きづけられた多様体の種数 φ が、 φ ( X ) = K ( p 1 , p 2 , p 3 , ⋯ ) {\displaystyle \varphi (X)=K(p_{1},p_{2},p_{3},\cdots )} で与えられる。このとき冪級数 Q は種数 φ の特性冪級数 (characteristic power series)と呼ぶ。トムの定理「有理数環とコボルディズム環とのテンソル積は、正整数 k に対する次数 4k の生成元を変数とする多項式環である」から、先の対応によって先頭項（つまり定数項）が 1 の有理係数形式的冪級数 Q と向きの付いた多様体の有理数値種数が一対一に対応することがわかる。
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