有理数値
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/14 15:01 UTC 版)
「フルヴィッツのゼータ函数」の記事における「有理数値」の解説
フルヴィッツのゼータ函数は、有理数での多くの印象的な恒等式の形をとる。特に、オイラー多項式 (Euler polynomial) E n ( x ) {\displaystyle E_{n}(x)} の項は、 E 2 n − 1 ( p q ) = ( − 1 ) n 4 ( 2 n − 1 ) ! ( 2 π q ) 2 n ∑ k = 1 q ζ ( 2 n , 2 k − 1 2 q ) cos ( 2 k − 1 ) π p q {\displaystyle E_{2n-1}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n-1)!}{(2\pi q)^{2n}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\cos {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}} と E 2 n ( p q ) = ( − 1 ) n 4 ( 2 n ) ! ( 2 π q ) 2 n + 1 ∑ k = 1 q ζ ( 2 n + 1 , 2 k − 1 2 q ) sin ( 2 k − 1 ) π p q {\displaystyle E_{2n}\left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{n}{\frac {4(2n)!}{(2\pi q)^{2n+1}}}\sum _{k=1}^{q}\zeta \left(2n+1,{\frac {2k-1}{2q}}\right)\sin {\frac {(2k-1)\pi p}{q}}} である。 また、等式 ζ ( s , 2 p − 1 2 q ) = 2 ( 2 q ) s − 1 ∑ k = 1 q [ C s ( k q ) cos ( ( 2 p − 1 ) π k q ) + S s ( k q ) sin ( ( 2 p − 1 ) π k q ) ] {\displaystyle \zeta \left(s,{\frac {2p-1}{2q}}\right)=2(2q)^{s-1}\sum _{k=1}^{q}\left[C_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\cos \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)+S_{s}\left({\frac {k}{q}}\right)\sin \left({\frac {(2p-1)\pi k}{q}}\right)\right]} も 1 ≤ p ≤ q {\displaystyle 1\leq p\leq q} に対して成り立つ。ここに、 C ν ( x ) {\displaystyle C_{\nu }(x)} と S ν ( x ) {\displaystyle S_{\nu }(x)} はルジャンドルのχ函数 (Legendre chi function) χ ν {\displaystyle \chi _{\nu }} を使い、 C ν ( x ) = Re χ ν ( e i x ) {\displaystyle C_{\nu }(x)=\operatorname {Re} \,\chi _{\nu }(e^{ix})} と S ν ( x ) = Im χ ν ( e i x ) {\displaystyle S_{\nu }(x)=\operatorname {Im} \,\chi _{\nu }(e^{ix})} である。 整数の値 ν に対し、これらはオイラー多項式の項で表現される。これらの関係式は、上記のフルヴィッツ公式と函数等式を使い得ることができる。
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