定義と存在
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/11/14 14:14 UTC 版)
(P, ≤) を順序集合 F を P の部分集合とする。 この時、以下の3つの条件を満たすとき F をフィルターという。F ≠ ∅。 任意の x, y ∈ F に対し、ある z ∈ F が存在して、z ≤ x かつ z ≤ y が成り立つ。 任意の x ∈ F, y∈ P について「x ≤ y ならば y ∈ F」が成り立つ。 更にフィルター F が P の真部分集合のとき真のフィルターという。極大な真のフィルターを超フィルターという。つまり P 上の真のフィルター U が次を満たすとき超フィルターという。U を部分集合に含む P 上の真のフィルター F は U 自身ただひとつ。 以下順序集合 P 上の超フィルター全体を Ult(P) と書く。 存在 L を最小元 0 を持った順序集合、F を L 上の有限交叉族とする。このとき F を含む超フィルターが存在する。実際 F を L 上の有限交叉族としたとき、（L 上のフィルターが真のフィルターとなる必要十分条件は 0 を含まないことから、）F を含む真のフィルター全体は包含関係で帰納的順序集合となる。この集合族はツォルンの補題から極大元を持つ。この極大元は F を含む超フィルターである。 任意のブール代数上での（勝手な有限交叉族を含む）超フィルターの存在はBPI定理と呼ばれ、ZF集合論では証明できず、選択公理を弱めた原理であることが知られている。
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