内積とノルム
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/01 07:43 UTC 版)
詳細は「行列ノルム」を参照 K-加群としての Mm×n(K) はまた、行列の積 tA B のトレース ⟨ A , B ⟩ = tr ( t A B ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m a i j b i j {\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} ({}^{t}AB)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}a_{ij}b_{ij}} を内積に持つ。K = R のとき、これはユークリッドノルムを導き、Mm×n(R) は m n-次元ユークリッド空間 Km n になる。この内積空間において、対称行列全体の成す部分空間と歪対称行列全体の成す部分空間とは互いに直交する。即ち、A が対称, B が歪対称ならば ⟨A, B⟩ = 0 が成り立つ。同様に K = C の場合には、Mm×n(C) は ⟨ A , B ⟩ = tr ( t A ¯ B ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 m a ¯ i j b i j {\displaystyle \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} ({}^{t}{\bar {A}}B)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{m}{\bar {a}}_{ij}b_{ij}} （ただし、上付きのバーは複素共軛）をエルミート内積として複素ユニタリ空間を成す（この内積をヒルベルト・シュミット内積と呼ぶ）。この内積はフロベニウスノルムを導き、Mm×n(C) はバナッハ空間となる。
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