主定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/19 06:33 UTC 版)
「ケルビン・ストークスの定理」の記事における「主定理」の解説
γ : [ a , b ] → R 2 {\displaystyle \gamma :[a,b]\to {\mathbb {R} }^{2}} が 区分的になめらかな平面曲線であり、かつ単純閉曲線（ジョルダン曲線）とする。即ち、 γ {\displaystyle \gamma } は以下の2つの性質をみたすものとする。 t {\displaystyle t} と s {\displaystyle s} が ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} 開区間の点であるとき、もし γ ( s ) = γ ( t ) {\displaystyle \,\ \gamma (s)=\gamma (t)} が成り立てば、必ず t = s {\displaystyle t=s} である。 γ ( a ) = γ ( b ) {\displaystyle \gamma (a)=\gamma (b)} である。 D {\displaystyle \mathbb {D} } を R 2 {\displaystyle {\mathbb {R} }^{2}} の領域とし、 D {\displaystyle \mathbb {D} } は前記の γ {\displaystyle \gamma } で縁どられているものとする。 ψ : D → R 3 {\displaystyle \psi :\mathbb {D} \to {\mathbb {R} }^{3}} を微分可能な3変数ベクトル値関数とする. S {\displaystyle \mathbb {S} } を D {\displaystyle \mathbb {D} } の ψ {\displaystyle \psi } による像集合とする. Γ {\displaystyle \Gamma } を Γ ( t ) = ψ ( γ ( t ) ) {\displaystyle \Gamma (t)=\psi (\gamma (t))} で定まる空間曲線とする。 このとき、次のケルビン・ストークスの定理が成り立つ。ここで、 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} (あるいは、HTML表記のRn)は、n次元実数ベクトル空間を意味する。 Theorem 1 ( Kelvin–Stoke’s theorem) 上記の γ , D , ψ , S {\displaystyle \gamma ,\mathbb {D} ,\psi ,\mathbb {S} } および Γ {\displaystyle \Gamma } を考える。また、 F {\displaystyle {\textbf {F}}} を R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} の微分可能なベクトル場とする。このとき ∮ Γ F d Γ = ∬ S ∇ × F d S {\displaystyle \oint _{\Gamma }\mathbf {F} \,d\Gamma =\iint _{\mathbb {S} }\nabla \times \mathbf {F} \,d\mathbb {S} } が成り立つ。ここで上式の左辺は「 F {\displaystyle \mathbf {F} } の Γ {\displaystyle \Gamma } に沿った線積分」を意味し、右辺は ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } を S {\displaystyle \mathbb {S} } で面積分したものを意味する。また、 ∇ × F {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } は F {\displaystyle \mathbf {F} } の回転を表すものとする。
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