上昇定理と下降定理

ウィキペディア小見出し辞書

上昇定理と下降定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/04/27 14:59 UTC 版)

「上昇と下降」の記事における「上昇定理と下降定理」の解説

上昇定理と下降定理の通常のステートメントは環拡大 A⊆B に言及する： （上昇） B が A の整拡大であれば上昇定理が成り立ち（したがって lying over property を満たし）、incomparability property を満たす。 （下降） B が A の整拡大で B が整域であり A がその分数体において整閉であれば、（上記に加えて）下降定理も成り立つ。 下降定理には別の十分条件がある。 A⊆B が可換環の平坦拡大（英語版）であれば、下降定理が成り立つ。 証明：p1⊆p2 を A の素イデアルとし q2 を B の素イデアルであって q2 ∩ A = p2 とする。q2 に含まれる B の素イデアル q1 が存在して q1 ∩ A = p1 であることを証明したい。A⊆B は環の平坦拡大であるから、Ap2⊆Bq2 は環の平坦拡大であることが従う。実は、Ap2⊆Bq2 は環の忠実平坦拡大である、なぜならば包含写像 Ap2 → Bq2 は局所射だからだ。それゆえ、スペクトルに誘導される写像 Spec(Bq2) → Spec(Ap2) は全射であり Ap2 の素イデアル p1Ap2 に contract する Bq2 の素イデアルが存在する。Bq2 のこの素イデアルの B への contraction は p1 に contract する q2 に含まれる B の素イデアル q1 である。証明が完了する。 Q.E.D.