一様な系
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/19 00:28 UTC 版)
「ボース＝アインシュタイン凝縮」の記事における「一様な系」の解説
箱の中にある理想ボース気体の系を考える。箱の中にはポテンシャルが作用しない一様な系とし、系の体積を V、粒子数を N とする。運動量 p の自由ボース粒子の1粒子エネルギーは、粒子の質量を m とすると ϵ p = p 2 2 m = ℏ 2 k 2 2 m {\displaystyle \epsilon _{\boldsymbol {p}}={\frac {{\boldsymbol {p}}^{2}}{2m}}={\frac {\hbar ^{2}{\boldsymbol {k}}^{2}}{2m}}} となる。BECの発生する転移温度 Tc 以下では、εp>0 のエネルギー状態に粒子が収容しきれなくなり、p=0 である ε0 状態へと運動量空間での凝縮が生じる。このとき、BECが発生する転移温度は T c = h 2 2 π m k B × ( N ζ ( 3 / 2 ) V ) 2 / 3 {\displaystyle T_{c}={\frac {h^{2}}{2\pi \,m\,k_{\mathrm {B} }}}\times \left({\frac {N}{\zeta (3/2)\,V}}\right)^{\!2/3}} で与えられる。但し、m は粒子の質量、kB はボルツマン定数、h はプランク定数である。また、ζ(z) はリーマンゼータ関数であり ζ ( 3 2 ) = ∑ k = 1 ∞ 1 k 3 / 2 = 2.612 ⋯ {\displaystyle \zeta \!\left({\frac {3}{2}}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\,k^{3/2}}}=2.612\cdots } である。また、BEC状態になった粒子の数 N0 は、 N 0 = N { 1 − ( T T c ) 3 / 2 } {\displaystyle N_{0}=N\!\left\{1-\left({\frac {T}{T_{c}}}\right)^{\!3/2}\right\}} となる。上式で温度が転移温度以下になると、有限温度でもエネルギー ε0 の状態にある粒子数 N0 が急激に増えていき、 T = 0 K で全ての粒子が凝縮状態となる。理想ボース気体での凝縮では、定積比熱の微分にとびがあり、これは三次の相転移である。
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