レイリー・ジーンズの法則とは - わかりやすく解説 Weblio辞書

レイリー・ジーンズの法則

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/05 03:36 UTC 版)

レイリー・ジーンズの法則（レイリー・ジーンズのほうそく、英: Rayleigh–Jeans Law）は、黒体輻射におけるエネルギー密度の理論式の1つである。レイリー・ジーンズの公式とも呼ばれ、イギリスの物理学者であるレイリー卿とジェームズ・ジーンズに因む^[1]^[2]。レイリー・ジーンズの公式は黒体から熱放射される電磁波、すなわち輻射場のある温度におけるエネルギー密度のスペクトル分布を与える。輻射場を一次元調和振動子の集まりとして扱い、古典統計力学を適用することで導かれる。この公式が適用できるのは長波長（低振動数）の限られたスペクトル領域のみであり、不完全な理論式である。全スペクトル領域で成り立つ完全な理論式は、量子論に基づくプランクの公式によって与えられる。しかしながら、レイリー・ジーンズの公式は古典物理学の限界を浮き彫りにし、輻射の理論や現代物理学の発展に重要な役割を果たした^[3]。

脚注

出典

注

^ $u (ν, T)$ と $u (λ, T)$ は $u (ν, T)d ν =- u (λ, T)d λ$ の関係にある。
^ 一次元調和振動子では、運動エネルギーに $1 / 2 kT$ 、ポテンシャルエネルギーに $1 / 2 kT$ が等分配され、合わせて $kT$ となる。より具体的には、一般化座標 $q$ と一般化運動量 $p$ により、運動エネルギーは $ap 2$ 、ポテンシャルエネルギーは $bq 2$ の形で表すことができ、エネルギー $ε = ap 2 + bq 2$ の熱平均 $〈 ε 〉$ は
$\langle \epsilon \rangle =\langle ap^{2}\rangle +\langle bq^{2}\rangle ={\frac {1}{2}}kT+{\frac {1}{2}}kT=kT$
となる。
^ 電場と磁場はベクトルポテンシャルと、
$\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t),\quad \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)$
の関係にある。
^ ハミルトンの運動方程式の一つ
${\dot {\mathbf {Q} }}_{\mathbf {k} }={\frac {\partial H_{\mathbf {k} }}{\partial \mathbf {P} _{\mathbf {k} }}}$
は
${\dot {\mathbf {Q} }}_{\mathbf {k} }=\mathbf {P} _{\mathbf {k} }$
に一致する。ハミルトンの運動方程式のもう一つ
${\dot {\mathbf {P} }}_{\mathbf {k} }=-{\frac {\partial H_{\mathbf {k} }}{\partial \mathbf {Q} _{\mathbf {k} }}}$
から調和振動子の満たす微分方程式
${\ddot {\mathbf {Q} }}_{\mathbf {k} }+\omega _{k}^{\,2}\mathbf {Q} _{\mathbf {k} }=0$
が得られる。