ポントリャーギン類と曲率
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2016/11/14 09:48 UTC 版)
「ポントリャーギン類」の記事における「ポントリャーギン類と曲率」の解説
陳省身(Shiing-Shen Chern)とアンドレ・ヴェイユ(André Weil)により 1948年頃に示されたように、有理ポントリャーギン類 p k ( E , Q ) ∈ H 4 k ( M , Q ) {\displaystyle p_{k}(E,\mathbf {Q} )\in H^{4k}(M,\mathbf {Q} )} は、ベクトルバンドルの曲率形式に多項式を通して依存した微分形式として表現することができる。このチャーン・ヴェイユ理論は、代数トポロジーと大域微分幾何学の間に大きな関係があることを明らかにした。 接続形式を持つ n-次元微分可能多様体(differentiable manifold) M 上のベクトルバンドル E に対し、全ポントリャーギン類は、 p = [ 1 − T r ( Ω 2 ) 8 π 2 + T r ( Ω 2 ) 2 − 2 T r ( Ω 4 ) 128 π 4 − T r ( Ω 2 ) 3 − 6 T r ( Ω 2 ) T r ( Ω 4 ) + 8 T r ( Ω 6 ) 3072 π 6 + ⋯ ] ∈ H d R ∗ ( M ) {\displaystyle p=\left[1-{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})}{8\pi ^{2}}}+{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})^{2}-2{\rm {Tr}}(\Omega ^{4})}{128\pi ^{4}}}-{\frac {{\rm {Tr}}(\Omega ^{2})^{3}-6{\rm {Tr}}(\Omega ^{2}){\rm {Tr}}(\Omega ^{4})+8{\rm {Tr}}(\Omega ^{6})}{3072\pi ^{6}}}+\cdots \right]\in H_{dR}^{*}(M)} として表現される。ここに Ω は曲率形式を表し、H*dR(M) はド・ラームコホモロジー群を表す。[要出典]
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