デルタ超関数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/17 00:55 UTC 版)
「量子力学の数学的定式化」の記事における「デルタ超関数」の解説
ディラックのデルタ関数の概念は、緩増加超関数の概念を用いて定式化する事ができる。 定義 (デルタ超関数) ― ΩをRdの開集合とするとき、以下のように定義される超関数をデルタ超関数という： δ : C 0 ∞ ( Ω ) → C {\displaystyle \delta ~:~C_{0}^{\infty }(\Omega )\to \mathbf {C} } 、 ϕ ↦ ϕ ( 0 ) {\displaystyle \phi \mapsto \phi (0)} 内積の定義より、これは ⟨ δ , ϕ ⟩ = ϕ ( 0 ) {\displaystyle \langle \delta ,\phi \rangle =\phi (0)} を意味する。上式をL2空間における内積の定義と照らし合わせると、上式はディラックの議論における ∫ Ω δ ( x ) ϕ ( x ) d x = ϕ ( 0 ) {\displaystyle \int _{\Omega }\delta (x)\phi (x)\mathrm {d} x=\phi (0)} を数学的に正当化したものとみなせる。
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