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カルタン形式 (物理学) 」は翻訳されたばかりのものです。不自然あるいは曖昧な表現などが含まれる可能性があり、このままでは読みづらいかもしれません。（原文：
en:Cartan formalism ）
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（2016年11月 ）
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理論物理学において良く用いられる、四脚場 (Vierbein ) や四つ組（英語版 ） tetrad ) の理論は四次元多様体 にカルタン接続（英語版 ） を適用した特殊例である。これは計量の符号がどのような場合でも適用することができる（計量テンソル を参照）。四次元でない場合は、三つ組 (triad )や五つ組 (pentad )、二脚場 (Zweibein )、五脚場 (Fünfbein )、十一脚場 (Elfbein )などの用語が用いられる。 一般の次元については多脚場 (Vielbein ) という用語が用いられる。
基底依存の添字記法については、四つ組形式（英語版 ） を参照。
基礎的要素 M をn -次元可微分多様体 、自然数 p および q が
p + q = n を満たすものとする。さらに M 上の SO(p , q ) （英語版 ） 主束 B と、それに付随する SO(p , q ) -ベクトル束 V が SO(p , q ) の自然な n -次元表現 として与えられたものとする。等価な表現として、V は符号数 (p , q ) の計量 η （非縮退二次形式 ）を備えた M 上のランク-n 実ベクトル束であるとも言える[1]
カルタン形式の基礎的な要素は、M 上のベクトル束から M の接束 TM への可逆 線形写像 e : V → TM B が自明な束である場合は、（局所的には常に仮定できるが）V は直交断面 f a = f 1 … f n {\displaystyle f_{a}=f_{1}\ldots f_{n}} η a b = η ( f a , f b ) = d i a g ( 1 , … 1 , − 1 , … , − 1 ) {\displaystyle \eta _{ab}=\eta (f_{a},f_{b})={\rm {diag}}(1,\ldots 1,-1,\ldots ,-1)} M 上の局所座標 x μ = x − 1 , … , x − n {\displaystyle x^{\mu }=x^{-1},\ldots ,x^{-n}} f a ∂ μ = ∂ ∂ x μ {\displaystyle \partial _{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}} e は基底断面の像
e a := e ( f a ) := e a μ ∂ μ {\displaystyle e_{a}:=e(f_{a}):=e_{a}^{\mu }\partial _{\mu }} により決定される。これにより、接束の（非座標）基底が定義される（ただし、e が可逆な場合。また、B が局所的にのみ自明化される場合は基底も局所的なものとなる）。行列 e a μ , μ = − 1 , … , − n , a = 1 , … , n {\displaystyle e_{a}^{\mu },\mu =-1,\dots ,-n,a=1,\dots ,n} 四つ組（英語版 ） 、四脚場、多脚場などと呼ばれる。これの局所標構としての解釈は局所基底の暗黙の選択に依存する。
同値関係 V ≅ T M {\displaystyle V\cong {\rm {T}}M} 標構束（英語版 ） を B → Fr(M )縮小 でき、これを接束の主束 と呼ぶ。一般には、このような縮小は位相幾何学 的な理由により不可能である。したがって、一般の連続写像 e に対しては、M 上のどこかの点で縮退してしまうことが避けられない。
例: 一般相対性理論 一般相対性理論 における時空の幾何学を、普通使われている計量テンソル場の代わりに四つ組場を用いて記述することができる。計量テンソル gαβ は、接空間 における内積 を次のように直接定義する。
⟨ x , y ⟩ = g α β x α y β {\displaystyle \langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle =g_{\alpha \beta }\,x^{\alpha }\,y^{\beta }} 四つ組 e i α
⟨ x , y ⟩ = η i j ( e α i x α ) ( e β j y β ) {\displaystyle \langle {\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}\rangle =\eta _{ij}(e_{\alpha }^{i}\,x^{\alpha })(e_{\beta }^{j}\,y^{\beta })} ここで、添字 α および β は接空間座標をなめ、 i および j はミンコフスキー座標をなめる。四つ組場 e i α
g α β ( x ) = η i j e α i ( x ) e β j ( x ) {\displaystyle g_{\alpha \beta }({\boldsymbol {x}})=\eta _{ij}\,e_{\alpha }^{i}({\boldsymbol {x}})\,e_{\beta }^{j}({\boldsymbol {x}})} 構成法 M 上の（擬 ）リーマン計量 は η の e による引き戻し（英語版 ） により定義される。換言すれば、TM の二つの断面 X Y
g (X Y η (e (X e (Y V 上の接続形式 A
dη (a , b ) = η (dA a , b ) + η (a , dA b ) (つまり dA η = 0 ) がM 上の全ての可微分断面 a および b に対して成り立つ。ここで、dA は共変外微分（英語版 ） である。このことは、A SO(p , q ) 主束 上に拡張可能であることを意味している。dA e = 0 が成り立つ。左辺は捩率テンソル と呼ばれる量である。この条件は基本的には、下に定義する ∇ が捩れなしになることを意味している。この条件はアインシュタイン・カルタン理論（英語版 ） では課されないが、その代わりに A これはスピン接続（英語版 ） と呼ばれる。
このようにして得られた A TM 上の接続 ∇ を同型写像 e を通じて定義することができる。
e (∇X A e (X TM の全可微分断面 X ここまでで SO(p , q ) ゲージ理論 が得られたので、曲率 F F = d e f d A + A ∧ A {\displaystyle {\boldsymbol {F}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ d{\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {A}}\wedge {\boldsymbol {A}}} リーマン曲率テンソル を微分形式で記述したものである。
上に用いた記法以外にも、接続形式 A ω 、曲率形式 F Ω 、正準ベクトル値 1-形式 e を θ 、共変外微分（英語版 ） dA を D と書く記法もある。
パラティーニ作用 四つ組形式の一般相対性理論において四次元可微分多様体 M の作用 は、随伴場強度 Ω = D ω = d ω + ω ∧ ω {\displaystyle \Omega =D\omega =\mathrm {d} \omega +\omega \wedge \omega } e と接続形式 ω の汎関数 として以下のように定義される。
S = d e f M p l 2 ∫ M ϵ a b c d ( e a ∧ e b ∧ Ω c d ) = M p l 2 ∫ M d 4 x ϵ μ ν ρ σ ϵ a b c d e μ a e ν b R ρ σ c d [ ω ] {\displaystyle S\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ M_{pl}^{2}\int _{M}\epsilon _{abcd}(e^{a}\wedge e^{b}\wedge \Omega ^{cd})=M_{pl}^{2}\int _{M}\mathrm {d} ^{4}x\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\epsilon _{abcd}e_{\mu }^{a}e_{\nu }^{b}R_{\rho \sigma }^{cd}[\omega ]} = M p l 2 ∫ | e | d 4 x 1 2 e a μ e b ν R μ ν a b {\displaystyle =M_{pl}^{2}\int |e|\mathrm {d} ^{4}x{\frac {1}{2}}e_{a}^{\mu }e_{b}^{\nu }R_{\mu \nu }^{ab}} = c 4 16 π G ∫ d 4 x − g R [ g ] {\displaystyle ={\frac {c^{4}}{16\pi G}}\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-g}}R[g]} ここで、 Ω μ ν a b = R μ ν a b {\displaystyle \Omega _{\mu \nu }^{ab}=R_{\mu \nu }^{ab}} ゲージ曲率 2-形式 、 ϵ a b c d {\displaystyle \epsilon _{abcd}} レビ・チビタ記号 、 | e | = ϵ μ ν ρ σ ϵ a b c d e μ a e ν b e ρ c e σ d {\displaystyle |e|=\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\epsilon _{abcd}e_{\mu }^{a}e_{\nu }^{b}e_{\rho }^{c}e_{\sigma }^{d}} e μ a {\displaystyle e_{\mu }^{a}} | e | = − g {\displaystyle |e|={\sqrt {-g}}} R μ ν λ σ = e a λ e b σ R μ ν a b {\displaystyle R_{\mu \nu }^{\lambda \sigma }=e_{a}^{\lambda }e_{b}^{\sigma }R_{\mu \nu }^{ab}} アインシュタイン・ヒルベルト作用 と等価であることがわかるだろう。導出途中ではプランク質量単位を用いて ℏ = c = 1 {\displaystyle \hbar =c=1} SI単位 の因子を全て含んでいることに注意されたい。
スピノル場 が存在する場合、パラティーニ作用は d ω {\displaystyle \mathrm {d} \omega } 捩率テンソル が非零、すなわち ω ^ μ a b = ω μ a b + K μ a b {\displaystyle {\hat {\omega }}_{\mu }^{ab}=\omega _{\mu }^{ab}+K_{\mu }^{ab}} アインシュタイン・カルタン理論（英語版 ） も参照されたい。
脚注 ^ 別の構成法として、Spin(p , q ) スピン束（英語版 ） への縮小を用いる方法もある。 
![{\displaystyle S\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ M_{pl}^{2}\int _{M}\epsilon _{abcd}(e^{a}\wedge e^{b}\wedge \Omega ^{cd})=M_{pl}^{2}\int _{M}\mathrm {d} ^{4}x\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }\epsilon _{abcd}e_{\mu }^{a}e_{\nu }^{b}R_{\rho \sigma }^{cd}[\omega ]}](http://weblio.hs.llnwd.net/e7/img/dict/wkpja/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c50f9dcdee200d0e21d6a37ebbfd4bb193f013c)
![{\displaystyle ={\frac {c^{4}}{16\pi G}}\int \mathrm {d} ^{4}x{\sqrt {-g}}R[g]}](http://weblio.hs.llnwd.net/e7/img/dict/wkpja/https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69afbacd0aba401893b5b2ac9938a9b294f91c9d)
