より良い評価
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/06 09:31 UTC 版)
「円周率が22/7より小さいことの証明」の記事における「より良い評価」の解説
π のより良い上限としてよく知られた 355/113 は、 0 < ∫ 0 1 x 8 ( 1 − x ) 8 ( 25 + 816 x 2 ) 3164 ( 1 + x 2 ) d x = 355 113 − π {\displaystyle 0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{8}(1-x)^{8}(25+816x^{2})}{3164(1+x^{2})}}\,dx={\frac {355}{113}}-\pi } として与えられる。この値は十進小数で表すと 355 113 = 3.141 592 92 ⋯ {\displaystyle {\frac {355}{113}}=3.141\,592\,92\cdots } であり、小数点以下6桁まで π と一致する。被積分関数の分母に x = 1 を代入すると、積分値の下限 ∫ 0 1 x 8 ( 1 − x ) 8 ( 25 + 816 x 2 ) 6328 d x = 911 5 261 111 856 = 0.000 000 173 ⋯ {\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{8}(1-x)^{8}(25+816x^{2})}{6328}}\,dx={\frac {911}{5\,261\,111\,856}}=0.000\,000\,173\cdots } を得る。x = 0 を代入すると、積分値の上限として、上記の数の2倍を得るので、円周率の評価として 355 113 − 911 2 630 555 928 < π < 355 113 − 911 5 261 111 856 {\displaystyle {\frac {355}{113}}-{\frac {911}{2\,630\,555\,928}}<\pi <{\frac {355}{113}}-{\frac {911}{5\,261\,111\,856}}} を得る。この評価は、十進小数として表すと 3.141 592 57… < π < 3.141 592 74… であり、太文字で表した小数点以下6桁まで円周率と一致する。
※この「より良い評価」の解説は、「円周率が22/7より小さいことの証明」の解説の一部です。
「より良い評価」を含む「円周率が22/7より小さいことの証明」の記事については、「円周率が22/7より小さいことの証明」の概要を参照ください。
- より良い評価のページへのリンク
