もう一つの明示公式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:33 UTC 版)
「ベルヌーイ多項式」の記事における「もう一つの明示公式」の解説
ベルヌーイ多項式に対する一つの明示公式が B m ( x ) = ∑ n = 0 m 1 n + 1 ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( x + k ) m {\displaystyle B_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x+k)^{m}} で与えられる（フルヴィッツのゼータ函数に対する大域収束級数表現との著しい類似性に注意せよ。実際、ζ(s, q) をフルヴィッツゼータ函数として B n ( x ) = − n ζ ( 1 − n , x ) {\displaystyle B_{n}(x)=-n\zeta (1-n,x)} が成り立つ。つまりある意味では、フルヴィッツゼータ函数はベルヌーイ多項式を n が非整数の場合へ一般化するものである）。 上記の明示式の内側の和は、xm の n-階前進差分、すなわち Δ を前進差分作用素として Δ n x m = ∑ k = 0 n ( − 1 ) n − k ( n k ) ( x + k ) m {\displaystyle \Delta ^{n}x^{m}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(x+k)^{m}} と理解することができるから、上記の明示式を B m ( x ) = ∑ n = 0 m ( − 1 ) n n + 1 Δ n x m {\displaystyle B_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\Delta ^{n}x^{m}} と書くこともできる。この式を上で述べた（微分による定義の）等式から導くこともできる。x に関する微分 D に対して、前進差分 Δ は Δ = e D − 1 {\displaystyle \Delta =e^{D}-1} に等しいから、メルカトル級数（英語版）を用いて D e D − 1 = log ( Δ + 1 ) Δ = ∑ n = 0 ∞ ( − Δ ) n n + 1 {\displaystyle {D \over e^{D}-1}={\log(\Delta +1) \over \Delta }=\sum _{n=0}^{\infty }{(-\Delta )^{n} \over n+1}} を得る。この作用素を xm のような m-次多項式の上に作用させる限り、右辺の和は n を 0 から m まで動かした有限和にすることができる。 ベルヌイ多項式の積分表示は有限差分としての表示から得られるノルルンド–ライス積分で与えられる。 オイラー多項式に対する一つの明示公式が E m ( x ) = ∑ n = 0 m 1 2 n ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) ( x + k ) m {\displaystyle E_{m}(x)=\sum _{n=0}^{m}{\frac {1}{2^{n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(x+k)^{m}} で与えられる。これはまた、オイラー数 Ek を用いれば E m ( x ) = ∑ k = 0 m ( m k ) E k 2 k ( x − 1 2 ) m − k {\displaystyle E_{m}(x)=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{\frac {E_{k}}{2^{k}}}\left(x-{\frac {1}{2}}\right)^{m-k}} とも書ける。
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