行列の基本変形 定義

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行列の基本変形

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/11 14:39 UTC 版)

定義

基本変形

以下の六つの変形を、行列の基本変形という。

• 二つの列を入れ替える

（例：${\begin{bmatrix}2&3&4\\5&6&7\\8&1&9\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}3&2&4\\6&5&7\\1&8&9\end{bmatrix}}$）

• ある列を0でない定数倍する

（例：${\begin{bmatrix}2&3&4\\5&6&7\\8&1&9\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}2&12&4\\5&24&7\\8&4&9\end{bmatrix}}$）

• ある列に、他のある列の定数倍を加える

（例：${\begin{bmatrix}2&3&4\\5&6&7\\8&1&9\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}5&3&4\\11&6&7\\9&1&9\end{bmatrix}}$）

• 二つの行を入れ替える

（例：${\begin{bmatrix}2&3&4\\5&6&7\\8&1&9\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}5&6&7\\2&3&4\\8&1&9\end{bmatrix}}$）

• ある行を 0 でない定数倍する

（例：${\begin{bmatrix}2&3&4\\5&6&7\\8&1&9\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}2&3&4\\5&6&7\\16&2&18\end{bmatrix}}$）

• ある行に、他のある行の定数倍を加える

（例：${\begin{bmatrix}2&3&4\\5&6&7\\8&1&9\end{bmatrix}}\to {\begin{bmatrix}2&3&4\\5&6&7\\6&-2&5\end{bmatrix}}$）

行に関する変形三つをまとめて行に関する基本変形、列に関する変形三つをまとめて列に関する基本変形という。

基本行列

以下のような (n, n) 型行列を基本行列という。

$P_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&0&&1&&\\&&&\ddots &&&\\&&1&&0&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\\\end{bmatrix}}(1\leq i\neq j\leq n)$

$Q_{i,c}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&c&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\\\end{bmatrix}}(1\leq i\leq n,c\neq 0)$

$R_{i,j,c}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&c&&\\&&&\ddots &&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\\\end{bmatrix}}(1\leq i\neq j\leq n,c\neq 0)$

つまり、

• P_{i, j} は、単位行列の i 行目と j 行目を取り換えた行列
• Q_{i, c} は、単位行列の (i, i) 成分を c にした行列
• R_{i, j, c} は、単位行列の (i, j) 成分を c にした行列

である。