単体 (数学) 素朴な定義

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単体 (数学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/28 17:58 UTC 版)

素朴な定義

r + 1個の点（の位置ベクトル）a₀, a₁, …, a_r があり、これらすべての点が Rⁿ の r − 1次元以下の部分空間に含まれることはない（これを一般の位置にあるという）ものとする。このとき、

$\left\{\textstyle \sum \limits _{i=0}^{r}\lambda _{i}{\boldsymbol {a}}_{i}\in \mathbb {R} ^{n}\mid \lambda _{i}\in \mathbb {R} ,\ \sum \limits _{i=0}^{r}\lambda _{i}=1,\ \lambda _{0},\cdots ,\lambda _{r}\geq 0\right\}$

を、a₀, a₁, …, a_r によって生成される（あるいは張られる）r次元単体 (r-dimentional simplex) あるいは単に r単体 (r-simplex) という。また、a₀, a₁, …, a_r をこの単体の頂点 (vertex) といい、V = {a₀, a₁, …, a_r} を頂点集合と呼ぶ。

また、a₀, a₁, …, a_r がアフィン独立 (affinely independent)、すなわち a₁ − a₀, …, a_r − a₀ が線形独立であって、この a₀, a₁, …, a_r が張る凸包というように言い換えることもできる。

二つの単体が頂点を共有し、一方が他方に含まれるとき、含まれる単体を他方の単体の面 (face) であるという。特に、m次元単体であるような面を m次元の面 (m-face) という。たとえば、頂点は 0 次元面である。また特に 1 次元面を辺と呼び、余次元 1 の面をファセット（facet、切子面）と呼ぶ（ここで「余次元」というのは、含む単体の次元とその面の次元との差のことである）。