ラゲールの陪多項式 ラゲールの陪多項式の概要

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ラゲールの陪多項式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/17 05:31 UTC 版)

$\left(x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+(k+1-x){\frac {d}{dx}}+(n-k)\right)L_{n}^{k}(x)=0$

を満たす多項式 $L_{n}^{k}(x)$ のことを言う。ただし $k$ は $0\leq k\leq n$ を満たす整数である。

$k=0$ のときの微分方程式はラゲールの微分方程式と呼ばれ、その解 $L_{n}(x)$ をラゲールの多項式という。 ラゲールの陪多項式とラゲールの多項式は次の関係で結ばれている。

$L_{n}^{k}(x)={\dfrac {d^{k}}{dx^{k}}}L_{n}(x)$

またロドリゲスの公式 (Rodrigues's Formula) として以下の形にも表せる。

${\begin{array}{lcl}L_{n}^{k}(x)&=&{\dfrac {d^{k}}{dx^{k}}}\left(e^{x}{\dfrac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{n}e^{-x}\right)\right)\\&=&\displaystyle {\sum _{m=0}^{n-k}(-1)^{m+k}{\dfrac {(n!)^{2}}{m!(m+k)!(n-m-k)!}}x^{m}}\end{array}}$

母関数は

$G(t,x)={\dfrac {(-1)^{k}}{(1-t)^{k+1}}}\exp \left({-{\dfrac {xt}{1-t}}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}^{k}(x){\dfrac {t^{n-k}}{n!}}$

である。

$k=0$ のとき$L_{n}(x)$について

$x{\dfrac {d}{dx}}L_{n}(x)=nL_{n}(x)-n^{2}L_{n-1}(x)$

$L_{n+1}(x)=(2n+1-x)L_{n}(x)-n^{2}L_{n-1}(x)$

という漸化式が成り立ち、後者から

$L_{0}(x)=1$

$L_{1}(x)=-x+1$

$L_{2}(x)=x^{2}-4x+2$

$L_{3}(x)=-x^{3}+9x^{2}-18x+6$

である。

量子力学において、球対称ポテンシャルのシュレディンガー方程式（代表的なものは水素原子におけるシュレーディンガー方程式）の動径方向の解は、ラゲールの陪多項式を用いて表される。