アーンショーの定理 アーンショーの定理の概要

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アーンショーの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/30 06:08 UTC 版)

これは電位 φ（スカラー量）が、先の任意の領域で、ラプラス方程式

$\Delta \phi =0$

を満たす調和関数であるとき、その領域内で電位 φ は極大、極小を持たないということ（ただし、領域の境界は除く。また鞍点の存在は可能）を意味する。右辺が値を持つ場合はポアソン方程式と呼ばれ、この場合は領域内で φ の極大値が許される。

この定理は、静電場だけでなく磁石と磁性体のみからなる静磁場でも成り立つ。すなわち、アンペールの法則では磁場 ${\vec {B}}$ の周回積分が積分路を貫く電流 $\mu _{0}{\vec {i}}$ に等しくなるが、巨視的電流が存在しない系では磁場

${\vec {H}}={\frac {\vec {B}}{\mu _{0}}}-{\vec {M}}$

はスカラポテンシャルを持ち、ラプラス方程式を満足する。