この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。 出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方 ） 出典検索? "単位ベクトル" – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL （2016年5月
単位ベクトル （たんい-ベクトル、英 : unit vector ）とは、長さ （ノルム ）が 1 のベクトル のことである。
単位ベクトルは e
意義と表記 零ベクトル でないベクトル p
p
=
‖
p
‖
p
‖
p
‖
{\displaystyle {\boldsymbol {p}}=\|{\boldsymbol {p}}\|{\frac {\boldsymbol {p}}{\|{\boldsymbol {p}}\|}}}
ここで
p
‖
p
‖
{\displaystyle {\frac {\boldsymbol {p}}{\|{\boldsymbol {p}}\|}}}
ノルム の線形性の一部から従う：
‖
p
‖
p
‖
‖
=
1
‖
p
‖
‖
p
‖
=
1
{\displaystyle \left\|{\frac {\boldsymbol {p}}{\|{\boldsymbol {p}}\|}}\right\|={\frac {1}{\|{\boldsymbol {p}}\|}}\|{\boldsymbol {p}}\|=1}
これにより、ある方向 [注 1]
ベクトルの正射影にも、単位ベクトルによる表記が簡潔である。ベクトル p e
a e 内積
a
⋅
e
{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {e}}}
a e
(
a
⋅
e
)
e
{\displaystyle ({\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {e}}){\boldsymbol {e}}}
力学 や電磁気などの理工学的な分野などでは、ベクトル r r 向き [注 1]
r
^
=
r
|
r
|
=
r
r
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}}={\frac {\boldsymbol {r}}{|{\boldsymbol {r}}|}}={\frac {\boldsymbol {r}}{r}}}
などと表す。ここで、
r
=
|
r
|
{\displaystyle r=|{\boldsymbol {r}}|}
r
また、曲線 や曲面 に沿って動く質点などの動きをベクトルで捉えるのに、向きだけを捉えるための種々のベクトルは単位ベクトルを考えることが多い。そこでは、接頭辞として「単位-」が用いられる。例えば、単位接ベクトル 、単位法ベクトル 、単位従法ベクトルなどが挙げられる。
特に n 次元ユークリッド空間 においては、ベクトルが成分で表され、基本ベクトル
e
1
=
(
1
0
⋮
0
)
,
e
2
=
(
0
1
⋮
0
)
,
…
,
e
n
=
(
0
0
⋮
1
)
{\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}},{\boldsymbol {e}}_{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\\vdots \\0\end{pmatrix}},\ldots ,{\boldsymbol {e}}_{n}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{pmatrix}}}
は n 個の線形独立 な単位ベクトルである。
xyz 空間においては、x , y , z i j k r
r
=
x
i
+
y
j
+
z
k
{\displaystyle {\boldsymbol {r}}=x{\boldsymbol {i}}+y{\boldsymbol {j}}+z{\boldsymbol {k}}}
と表せる。
このとき単位ベクトル
r
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}}}
|
r
|
=
x
2
+
y
2
+
z
2
{\displaystyle |{\boldsymbol {r}}|={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}
となるから、
r
^
{\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}}}
i j k
r
^
=
1
|
r
|
(
x
i
+
y
j
+
z
k
)
=
x
x
2
+
y
2
+
z
2
i
+
y
x
2
+
y
2
+
z
2
j
+
z
x
2
+
y
2
+
z
2
k
{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\hat {r}}}&={\frac {1}{|{\boldsymbol {r}}|}}(x{\boldsymbol {i}}+y{\boldsymbol {j}}+z{\boldsymbol {k}})\\&={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}{\boldsymbol {i}}+{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}{\boldsymbol {j}}+{\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}{\boldsymbol {k}}\end{aligned}}}
脚注
^ a b 「方向」と「向き」は、数学において厳密には使い分けられる。
関連項目 外部リンク 
