ハミング限界
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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2015/04/29 05:00 UTC 版)
ハミング限界（ハミングげんかい、英: Hamming bound）は、符号（線型符号とは限らない）のパラメータの限界値を指す。球充填の限界を情報理論の観点で言い直したものと言える。ハミング限界に従った符号を「完全符号; perfect code」と呼ぶ。
定義
q進数の符号 
が長さ 
で最小ハミング距離 
であるとき、その可能な最大サイズ（符号語の総数）を 
とする。なお、q進数の符号は、
個の要素の体 
上の線型符号である。
すると、次が成り立つ。
ここで、
証明
の定義から、符号語の転送において最大で 
の誤りが発生したとすると、最小距離復号によって正しく復号できる（すなわち、符号化された符号語を正しく復号できる）。つまり、この符号は 
個の誤りを訂正可能である。
であるようなある符号語について、
を中心とする半径 の球を考える。このような球の範囲内なら誤り訂正が正しく行われる。符号語を構成する 個の要素のうち 個まで誤りがあっても正しく復号できるため、それぞれの球には以下の符号語が含まれる（つまり、中心にある真の符号語の一部を変更した符号語群の数）。符号語の一桁は q進数であるから、とりうる値は 
種類になる。
に存在する符号語の総数を 
とする。全ての符号語から球の和集合をとると、結果として得られる符号語の総数は 以内となる。それぞれの球は重ならないので、それぞれの要素数の総和をとると、次が成り立つといえる。
従って、次が導かれる。
関連項目
- シングルトン限界
- ギルバート-バルシャモフ限界
- プロトキン限界
- ジョンソン限界
ハミング限界と同じ種類の言葉
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