e 進法が最も経済的な記数法であることの証明
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/02 16:04 UTC 版)
「e進法」の記事における「e 進法が最も経済的な記数法であることの証明」の解説
数を x {\displaystyle x} ( x > 0 , x ∈ R {\displaystyle x>0,x\in \mathbb {R} } )進法で表すとしたとき，この数一桁を表すのに x {\displaystyle x} 個の記憶素子が要求されるものと仮定する。このとき、 n {\displaystyle n} ( n {\displaystyle n} は定数)桁の数を表すのに必要な記憶素子の数 N ( x ) {\displaystyle N(x)} は， N ( x ) = n x {\displaystyle N(x)=nx} と表せる．また， x {\displaystyle x} 進法で表された n {\displaystyle n} 桁の数の情報量 I {\displaystyle I} ( I {\displaystyle I} は定数， I > x {\displaystyle I>x} )について， I = x n ⇔ n = log x I = ln I ln x {\displaystyle I=x^{n}\Leftrightarrow n=\log _{x}I={\frac {\ln I}{\ln x}}} 従って， I {\displaystyle I} の情報量を x {\displaystyle x} 進法の n {\displaystyle n} 桁で表すのに必要な記憶素子の数 N ( x ) {\displaystyle N(x)} は， N ( x ) = n x = ln I ⋅ x ln x {\displaystyle N(x)=nx=\ln I\cdot {\frac {x}{\ln x}}} ここで， { N ′ ( x ) < 0 0 < x < 1 N ′ ( x )> 0 x > 1 {\displaystyle {\begin{cases}N^{\prime }(x)<0&0<x<1\\N^{\prime }(x)>0&x>1\end{cases}}} より， N ( x ) {\displaystyle N(x)} を最小にする x {\displaystyle x} の値を求めるには， N ( x ) {\displaystyle N(x)} の微分係数が0となるような x {\displaystyle x} の値を求めれば良い． N ′ ( x ) = ln I ⋅ ( x ln x ) ′ = ln I ⋅ ln x − 1 ( ln x ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}N^{\prime }(x)&=\ln I\cdot \left({\frac {x}{\ln x}}\right)^{\prime }\\&=\ln I\cdot {\frac {\ln x-1}{\left(\ln x\right)^{2}}}\\\end{aligned}}} ln x = 1 {\displaystyle \ln x=1} のとき， N ′ ( x ) = 0 {\displaystyle N^{\prime }(x)=0} であるので， x = e {\displaystyle x=e} 以上より最も高効率な記数法は e {\displaystyle e} 進法である．
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