diffusion number

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拡散数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/11/18 13:02 UTC 版)

拡散数（かくさんすう、英: diffusion number）とは、陽解法を用いた拡散方程式の数値解析に際して、その数値的安定性を議論する上で重要な無次元数のひとつ。拡散数d は次式で定義される。

$d=k{\dfrac {\Delta t}{(\Delta x)^{2}}}$

ここで

• k ：拡散係数
• Δt ：解析における時間間隔
• Δx ：空間方向の間隔

である。

導出

1次元の拡散方程式：

${\dfrac {\partial {u}}{\partial t}}=k{\dfrac {\partial ^{2}{u}}{\partial {x}^{2}}}$

ここで

• t ：時間
• x ：空間座標

を考える。差分法を用いて拡散方程式を離散化すると以下のようになる。

${\dfrac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n}}{\Delta t}}=k{\dfrac {u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n}}{(\Delta x)^{2}}}$

この式を拡散数d を用いて書き直すと、時間ステップn +1 における物理量u_i^{n +1} を

$u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}+d(u_{i+1}^{n}-2u_{i}^{n}+u_{i-1}^{n})$

と表すことができる。

拡散数による安定性の評価

拡散方程式を陽解法、特に差分法を用いて計算する場合、拡散数の大きさにより解析の数値的安定性をフォン・ノイマンの安定性解析により評価することができる。解析を安定に進めるためには

$d\leq {\frac {1}{2}}$

である必要がある。この式は以下のように書き換えられる。

$\Delta t\leq {\frac {1}{2}}{\dfrac {(\Delta x)^{2}}{k}}$

つまり時間間隔Δt をある値より小さくしなければ安定に解析ができない。解析を精度よく行うために空間解像度Δx を小さくする場合、Δt はその2乗で小さくしなければならず、この条件は非常に厳しいものとなる。

参考文献

• 竹内則雄、樫山和男、寺田賢二郎 『計算力学』 森北出版、2003年9月。ISBN 4-627-91801-1。
• 藤井孝蔵 『流体力学の数値計算法』 東京大学出版会、1994年4月。ISBN 9784130628020。

関連項目

• 拡散方程式
• クーラン数

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「diffusion number」の例文・使い方・用例・文例

• 話し中です (《主に英国で用いられる》 The number's engaged.).