ソディ円

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ソディ円

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/07/06 16:44 UTC 版)

外（第一）ソディ円が正の曲率を持つとき、2つのソディ点はequal dotour pointsとも呼ばれる。

幾何学において、三角形のソディ円（ソディえん、英:Soddy circles of a triangle）は、三角形に対して一意に存在する円の一つである。ソディ円の中心はソディ点（Soddy centers）と呼ばれる。フレデリック・ソディがデカルトの定理を再発見したことに由来して名づけられた。

任意の三角形の3頂点について、頂点を中心とし、他の頂点を中心とする2円と接する円が存在する。さらにこの3つの円に接する円が最大2つ存在する。この2円をソディ円と呼ぶ。またソディ円の中心をソディ点と言う。2つのソディ点を通る直線はソディ線と呼ばれ、ソディ線上には多くの三角形の中心が存在する。

定義

${\displaystyle A,B,C}$

もう一組のソディ円は、中心をA, B, C、半径を−s, s − c, s − b とする円に接する。

A,B,Cを中心とし3円の半径を${\displaystyle (-s,s-c,s-b)}$

4つのソディ線は元の三角形のド・ロンシャン点で交わる。

2つのソディ点を通る直線をソディ線と言う。 ソディ線は、2つのソディ円の相似中心である内心とジェルゴンヌ点、そしてド・ロンシャン点などを通る^[6][7]。

元の三角形のソディ円のほかに、「3つの円」の項で見たような、他3組の円の3つのソディ線はそれぞれがいずれかの傍心を通り、またド・ロンシャン点で交わる^[6][7][8]。

他の図形との関連

第一ソディ円と、A,B,Cを中心とするソディ円と他2円に接する3つの円の、接点の成す三角形を第一（外）ソディ三角形（Outer Soddy triangle）と言う。第二ソディ円に同様にして定義したものを第二（内）ソディ三角形と言う。

エップシュタイン点

第一ソディ三角形とジェルゴンヌ三角形は配景的でその配景の中心を第一エップシュタイン点（First Eppstein point）という^[9]。Eppsteinはエプスタインとも書かれる。

クラーク・キンバリングの「Encyclopedia of Triangle Centers」ではX(481)として登録されており三線座標は以下の式で与えられる^[10]。

${\displaystyle 1-2\sec {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}:1-2\sec {\frac {B}{2}}\cos {\frac {C}{2}}\cos {\frac {A}{2}}:1-2\sec {\frac {C}{2}}\cos {\frac {A}{2}}\cos {\frac {B}{2}}}$