イマナント

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イマナント

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/07/27 23:06 UTC 版)

数学における行列のイマナント（英: Immanant）は Littlewood & Richardson (1934) が行列式 (determinant) およびパーマネント (permanent) の概念を一般化するものとして導入した。

λ := (λ₁, λ₂, …) を n の分割、χ_λ を対称群 S_n の表現論的指標とするとき、n × n 行列 A := (a_ij) の指標 χ_λ に付随する「イマナント」は、

$$\operatorname {Imm} _{\lambda }(A):=\sum _{\sigma \in S_{n}}\chi _{\lambda }(\sigma )a_{1\sigma (1)}a_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}$$

で定義される。

• 行列式はイマナントの特別の場合で、χ_λ として（置換の符号によって定義される）S_n の交代指標をとったものである。
• パーマネントは χ_λ として自明指標（恒等的に 1 に等しい）をとった場合である。

例えば、3 × 3 行列の場合に、S₃ の既約表現は以下の指標標の如く三つある:

S3	e	(1 2)	(1 2 3)
χ1	1	1	1
χ2	1	−1	1
χ3	2	0	−1

既に述べた通り、χ₁ はパーマネントを χ₂ は行列式を与える。そして χ₃ は

$${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}\rightsquigarrow 2a_{11}a_{22}a_{33}-a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{21}a_{32}$$

と写される演算を定義する。

Littlewood & Richardson (1934) は対称群の表現論におけるシューア函数との関係も調べている。

参考文献

• Littlewood, D. E.; Richardson, A. R. (1934), “Group characters and algebras”, Philosophical Transactions of the Royal Society A 233 (721–730): 99–124, doi:10.1098/rsta.1934.0015 
• Littlewood, D. E. (1950). The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups (2nd ed.). Oxford Univ. Press (reprinted by AMS, 2006). p. 81. 

外部リンク

• immanent - PlanetMath.（英語）
• 田端亮 (2014) (PDF), Immanant不等式とImmanantal Polynomials, 第19回代数若手研究会 報告書, http://math.shinshu-u.ac.jp/~maekawa/wakate2014/proceedings/tabata_proceedings.pdf