論理積の消去

ウィキペディア

論理積の消去

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/01/02 21:23 UTC 版)

論理積の消去(ろんりせきのしょうきょ、英: Conjunction elimination)(論理積の除去、連言除去則、$\land$-除去則は、命題論理における妥当性のある推論規則のひとつである。もし、「PかつQ」とい命題が真であれば、「P」という命題が真であり、同時に「Q」という命題も真であることを指す。この規則を用いることによって、論理積(「かつ」、「$\land$」)で結び付けられた命題の片方を抽出することができる。例えば、「雨が降っており、土砂降りである」という命題が真であれば、「雨が降っている」という命題は真である。この規則は、下記のように、

${\frac {P\land Q}{\therefore P}}$

および、

${\frac {P\land Q}{\therefore Q}}$

の２つの記述をすることができる。ここで、命題「$P\land Q$」が証明のなかのどの行に出てきても、その後の行において、命題「$P$」もしくは命題「$Q$」を示すことができるものとされている。

形式的な記法

論理積の消去の推論規則は、シークエント記法では、

$(P\land Q)\vdash P$

および、

$(P\land Q)\vdash Q$

と表すことができる。ここで、「$\vdash$」は、ある論理の形式体系において、命題「$P$」が「$P\land Q$」の論理的帰結であり、命題「$Q$」もまた「$P\land Q$」の論理的帰結であることを表す、メタ言語の記号である。

この推論規則はまた、命題論理における真理関数のトートロジーもしくは定理として、

$(P\land Q)\to P$

および、

$(P\land Q)\to Q$

と表される。