チェビアン

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チェビアン

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/07/07 10:25 UTC 版)

幾何学において、チェビアン^[1]（英:Cevian）またはチェバ線^[2]とは三角形の頂点とその対辺を結ぶ線分の総称である^[3][4]。中線や角の二等分線などはチェバ線の特別な場合である。チェバ線に関する有名な定理を発表したジョバンニ・チェバに由来する^[5]。

長さ

三角形とそのチェビアンd

スチュワートの定理

チェビアンの長さdはスチュワートの定理を用いて次の様に求めることができる。

${\displaystyle \,b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn).}$

3つのチェビアンが共点

図の様に、それぞれの頂点に対するチェビアンが内部の点で交わっているとき、以下の式が成り立つ^[7]。

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}\cdot {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}=1\\&\\&{\frac {\overline {AO}}{\overline {OD}}}={\frac {\overline {AE}}{\overline {EC}}}+{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}};\\&\\&{\frac {\overline {OD}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {OE}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {OF}}{\overline {CF}}}=1;\\&\\&{\frac {\overline {AO}}{\overline {AD}}}+{\frac {\overline {BO}}{\overline {BE}}}+{\frac {\overline {CO}}{\overline {CF}}}=2.\end{aligned}}}$