3辺の一般式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/08 10:19 UTC 版)
ヘロンの三角形の3辺の長さは以下の式で表すことができる。 a = n ( m 2 + k 2 ) {\displaystyle a=n(m^{2}+k^{2})\,} b = m ( n 2 + k 2 ) {\displaystyle b=m(n^{2}+k^{2})\,} c = ( m + n ) ( m n − k 2 ) {\displaystyle c=(m+n)(mn-k^{2})\,} 半周長 = s = ( a + b + c ) / 2 = m n ( m + n ) {\displaystyle =s=(a+b+c)/2=mn(m+n)\,} 面積 = m n k ( m + n ) ( m n − k 2 ) {\displaystyle =mnk(m+n)(mn-k^{2})\,} 内接円の半径 = k ( m n − k 2 ) {\displaystyle =k(mn-k^{2})\,} s − a = n ( m n − k 2 ) {\displaystyle s-a=n(mn-k^{2})\,} s − b = m ( m n − k 2 ) {\displaystyle s-b=m(mn-k^{2})\,} s − c = ( m + n ) k 2 {\displaystyle s-c=(m+n)k^{2}\,} m, n, k は以下の条件を満たす整数である。 gcd ( m , n , k ) = 1 {\displaystyle \gcd {(m,n,k)}=1} m n > k 2 ≥ m 2 n / ( 2 m + n ) {\displaystyle mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)} m ≥ n ≥ 1 {\displaystyle m\geq n\geq 1} 上の条件を満たさない m, n, k を用いてもヘロンの三角形になるが、これは小さいヘロン三角形を拡大したものになる。例えば m = 36, n = 4, k = 3 とすると、a = 5220, b = 900, c = 5400 という三角形ができる。これは、5, 29, 30 という三角形と相似である。
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