複比の保存
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/14 03:18 UTC 版)
複比 (Cross-ratio) はメビウス変換で不変である。すなわち、メビウス変換が相異なる４つの点 z1, z2, z3, z4 を相異なる４つの点 w1, w2, w3, w4 にそれぞれ移すならば ( z 1 − z 3 ) ( z 2 − z 4 ) ( z 2 − z 3 ) ( z 1 − z 4 ) = ( w 1 − w 3 ) ( w 2 − w 4 ) ( w 2 − w 3 ) ( w 1 − w 4 ) {\displaystyle {\frac {(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4})}{(z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}={\frac {(w_{1}-w_{3})(w_{2}-w_{4})}{(w_{2}-w_{3})(w_{1}-w_{4})}}} が成立する。z1, z2, z3, z4 のうちの一点が無限遠点ならば、複比は自然な極限をとったものとして定義する。たとえば z1, z2, z3, ∞ の複比は ( z 1 − z 3 ) ( z 2 − z 3 ) {\displaystyle {\frac {(z_{1}-z_{3})}{(z_{2}-z_{3})}}} である。
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