核 (代数学)

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核 (代数学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/12/04 23:29 UTC 版)

群論については「核 (群論)」を、その他の用法については「核 (数学)」をご覧ください。

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数学において、準同型の核（かく、英: kernel）とは、その準同型の単射からのずれの度合いを測る道具である。代数系における準同型の核が "自明" (trivial) であることとその準同型が単射であることとが同値となる。

定義

考える構造により多少の差異はあるが、（圏論を使わない）集合と写像の言葉の範疇では概ね、基点 (base point) と呼ばれる特定の元を構造として持つ場合と持たない場合の二種に大別できる（ここでは、正確には基点のみからなる一元集合が圏論的な意味で零対象となるようなものを与える必要がある）。

基点を持たない構造の場合

A, B を同種の構造をもつ集合とし、f : A → B を構造を保つ準同型とする。このとき、準同型 f の核 Ker(f) は

${\displaystyle \operatorname {Ker} f:=\{(a_{1},a_{2})\in A\times A\mid f(a_{1})=f(a_{2})\}}$