対偶を用いた証明

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対偶を用いた証明

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/07 07:01 UTC 版)

「ピタゴラスの定理」の記事における「対偶を用いた証明」の解説

△ABC において ∠C ≠ π/2 であると仮定する。頂点 A から直線 BC に下した垂線の足を D とし、AD = h, CD = d とする。 ∠C < π/2 の場合、直角三角形 ABD においてピタゴラスの定理より c 2 = ( a − d ) 2 + h 2 = a 2 − 2 a d + d 2 + h 2 であり、同様に直角三角形 ACD では b 2 = d 2 + h 2 である。よって c 2 = a 2 − 2 a d + b 2 < a 2 + b 2 {\displaystyle c^{2}=a^{2}-2ad+b^{2} π/2 の場合も同様に考えて c 2 = ( a + d ) 2 + h 2 = a 2 + 2 a d + d 2 + h 2 = a 2 + 2 a d + b 2 {\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&=(a+d)^{2}+h^{2}\\&=a^{2}+2ad+d^{2}+h^{2}\\&=a^{2}+2ad+b^{2}\end{aligned}}} ゆえに c 2 > a 2 + b 2 {\displaystyle c^{2}>a^{2}+b^{2}} となる。 よっていずれの場合も a 2 + b 2 ≠ c 2 {\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq c^{2}} である。対偶を取って、a 2 + b 2 = c 2 ならば ∠C = π/2 である。 なお、この証明から分かるように、 ∠C < π/2 ⇔ a 2 + b 2 > c 2 ∠C = π/2 ⇔ a 2 + b 2 = c 2 ∠C > π/2 ⇔ a 2 + b 2 < c 2 という対応がある。