双曲型トーラス自己同型写像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/11 06:40 UTC 版)
力学系理論における双曲型トーラス自己同型写像（そうきょくがたトーラスじこどうけいしゃぞう、英: hyperbolic toral automorphism）あるいはトーラス上の双曲型自己同型写像は、ユークリッド空間上の双曲型の線型写像から誘導されるトーラス上の自己同型写像である[1][2]。アノソフ系の代表的な例であり、力学系の中でも重要な対象でもある[3][4]。ユークリッド空間上の線型写像が単純な振る舞いしか示さないのに対して、トーラス上の双曲型自己同型写像は非常に豊かな構造を有する[5][6]。
定義
まず、2次元トーラス 𝕋2 を導入する。幾何学的には、 𝕋2 は、平面上の正方形 [0, 1] × [−1, 1] の上辺と下辺と同一視し、さらに右辺と左辺を同一視して構成できる[6]。代数的には、実数の組 (x, y) と (x′, y′) に対して x − x′ と y − y′ が整数のときに (x, y) ∼ (x′, y′) であるという同値関係 ∼ を定義したときの同値類全体が2次元トーラスでもある[6]。
次に ℝ2 上の点を 𝕋2 上の点に写す自然な射影 π : ℝ2 → 𝕋2 を導入する[7]。x = (x, y)⊤ ∈ ℝ2 の同値類を [x] で表すと、 π は
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