内函数と外函数への因数分解（バーリング）
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/04 15:23 UTC 版)
「ハーディ空間」の記事における「内函数と外函数への因数分解（バーリング）」の解説
0 < p ≤ ∞ に対し、Hp 内の全ての非ゼロ函数 f は、以下で定義される外函数（outer function）G と内函数（inner function）h の積 f = Gh で表すことが出来る (Rudin 1987, Thm 17.17)。このバーリング（英語版）因数分解は、ハーディ空間を内函数と外函数の空間によって完全に特徴付けることを許す。 G(z) は次の形状を取るとき、外函数と呼ばれる。 G ( z ) = c exp ( 1 2 π ∫ − π π e i θ + z e i θ − z log ( φ ( e i θ ) ) d θ ) . {\displaystyle G(z)=c\,\exp \left({\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {e^{i\theta }+z}{e^{i\theta }-z}}\log \!\left(\varphi \!\left(e^{i\theta }\right)\right)\,\mathrm {d} \theta \right).} ただし c は |c| = 1 であるような複素数で、φ は log(φ) が単位円上で可積分であるような正の可測函数である。特に φ も単位円上で可積分であるなら、上式がポアソン核の形状を取るため、G は H1 に含まれる。このことは、ほとんど全ての θ に対して lim r → 1 − | G ( r e i θ ) | = φ ( e i θ ) {\displaystyle \lim _{r\to 1^{-}}\left|G\left(re^{i\theta }\right)\right|=\varphi \left(e^{i\theta }\right)} が成立することを意味する。 h(z) が内函数であるとは、単位円板上で |h(z)| ≤ 1 を満たし、ほとんど全ての θ に対して極限 lim r → 1 − h ( r e i θ ) {\displaystyle \lim _{r\to 1^{-}}h(re^{i\theta })} が存在し、その母数が 1 に等しいことを言う。特に、h は H∞ に含まれる。内函数はさらに、ブラシュケ積（英語版）を含む形へ分解することが出来る。 f = Gh と分解される函数 f が Hp 内にあるための必要十分条件は、外函数 G の式に現れる正の函数 φ が Lp(T) に属することである。 G を、単位円上の函数 φ によって上述のように表現される外函数とする。α > 0 に対して φ を φα に置き換えることで、次の性質を満たす外函数の族 (Gα) を得ることが出来る。 G1 = G, Gα+β = Gα Gβ and |Gα| = |G|α almost everywhere on the circle.
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