位置演算子との交換子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/08 08:16 UTC 版)
「並進演算子 (量子力学)」の記事における「位置演算子との交換子」の解説
並進演算子と位置演算子の交換子は、以下のように書ける。 [ r ^ , T ^ ( x ) ] ≡ r ^ T ^ ( x ) − T ^ ( x ) r ^ = x T ^ ( x ) {\displaystyle [{\boldsymbol {\hat {r}}},{\hat {T}}({\boldsymbol {x}})]\equiv {\boldsymbol {\hat {r}}}{\hat {T}}({\boldsymbol {x}})-{\hat {T}}({\boldsymbol {x}}){\boldsymbol {\hat {r}}}={\boldsymbol {x}}{\hat {T}}({\boldsymbol {x}})} 証明:|r⟩ を位置演算子 ^r の任意の固有値 r に対応する固有ベクトルとすると、次の二式が成り立つ。 T ^ ( x ) r ^ | r ⟩ = T ^ ( x ) r | r ⟩ = r | x + r ⟩ {\displaystyle {\hat {T}}({\boldsymbol {x}}){\boldsymbol {\hat {r}}}|{\boldsymbol {r}}\rangle ={\hat {T}}({\boldsymbol {x}}){\boldsymbol {r}}|{\boldsymbol {r}}\rangle ={\boldsymbol {r}}|{\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {r}}\rangle } r ^ T ^ ( x ) | r ⟩ = r ^ | x + r ⟩ = ( x + r ) | x + r ⟩ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}}{\hat {T}}({\boldsymbol {x}})|{\boldsymbol {r}}\rangle ={\hat {\boldsymbol {r}}}|{\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {r}}\rangle =({\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {r}})|{\boldsymbol {x}}+{\boldsymbol {r}}\rangle } この2式の差をとれば上式が示される。 これは上述の性質を利用して、次のようにも書ける。 T ^ − 1 ( x ) r ^ T ^ ( x ) = r ^ + x I ^ {\displaystyle {\hat {T}}^{-1}({\boldsymbol {x}}){\boldsymbol {\hat {r}}}{\hat {T}}({\boldsymbol {x}})={\boldsymbol {\hat {r}}}+{\boldsymbol {x}}{\hat {\mathbb {I} }}} ここで I ^ {\displaystyle {\hat {\mathbb {I} }}} は恒等演算子である。
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