乗数・加速度モデル

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乗数・加速度モデル

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/06/15 13:11 UTC 版)

乗数・加速度モデル（じょうすうかそくどモデル、英: Multiplier–accelerator model）とは、景気循環を説明するモデルである。ハンセン＝サミュエルソンの乗数・加速度モデルとも呼ばれる。ポール・サミュエルソン（Samuelson, P.A. (1939)）が発表し、J. R. ヒックス（Hicks, J.R. (1950)）が発展させた。発展させたものはサミュエルソン＝ヒックスの乗数・加速度モデルと呼ばれる。

概要

乗数・加速度モデルは乗数原理と加速度原理を合わせ、景気循環を説明しようというものである。以下はサミュエルソンによる乗数・加速度モデルである。

$Y_{t}=C_{t}+I_{t}$

(1)

$C_{t}=C+cY_{t-1}$

(2)

$I_{t}=I+v(Y_{t-1}-Y_{t-2})$

(3)

ただし、

• $Y$： GDP
• $C$： $C_{t}$はt期の消費。 $C$は基礎消費。
• $I$： $I_{t}$はt期の投資。 $I$は独立投資。
• $c$： 消費性向
• $t$： t期(時間)
• $v$： 加速度係数

をそれぞれ指す。

ここで、(1) $Y_{t}=C_{t}+I_{t}$はt期の国民所得 $Y_{t}$が消費されるか投資されるかのいずれかであることを示している。(2) $C_{t}=C+cY_{t-1}$はt期の消費 $C_{t}$がどのように決定されるかを示している。(3) $I_{t}=I+v(Y_{t-1}-Y_{t-2})$はt期の投資 $I_{t}$がどのように決定されるかを示している。(3)式は加速度原理を表している。

(1)、(2)を(3)に代入すると、

$Y_{t}=(c+v)Y_{t-1}-vY_{t-2}+(C+I)$

(4)

という2階差分方程式を得る。これを(4)式とする。

$A\equiv C+I$

とおいて、(4)式を整理すると、

$Y_{t}-(c+v)Y_{t-1}+vY_{t-2}-A=0$

(4')

(4')式の不動点を求めると、

$Y^{*}={\frac {A}{1-c}}$

(5)

これを(5)式とする。

(4')式の特性方程式は、

$\lambda ^{2}-(c+v)\lambda +v=0$

(6)

この特性方程式を(6)式とする。(6)式の判別式をDとすると

$D=(c+v)^{2}-4v$

よって、 $(c+v)^{2}-4v$が正のとき実根が存在し、負のとき複素根が存在する。 (6)式の特性根は

$\lambda _{1},\lambda _{2}={\frac {(c+v)\pm {\sqrt {(c+v)^{2}-4v}}}{2}}$

このモデルで示される経済は、(6)式の特性根が実根の場合、時間とともに単調に発散するか、単調に不動点に収束することになる。このモデルで示される経済は、(6)式の特性根が複素根の場合、変動が存在する。 複素根が存在するとして、これらの複素根を

$\alpha +i\beta ,\alpha -i\beta$

と置く。さらに、特性根の絶対値を $\rho ={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}$とすると、

• $\tan \theta ={\frac {\beta }{\alpha }}$
• $\alpha =\rho \cos \theta$
• $\beta =\rho \sin \theta$

となる。これらの式から、

$\lambda _{1}=\rho (\cos \theta +\sin \theta )$

$\lambda _{2}=\rho (\cos \theta -\sin \theta )$

同次部分の一般解を求めると、

$a_{1}\lambda _{1}^{t}+a_{2}\lambda _{2}^{t}=2k\rho ^{t}\cos(t\theta +\varepsilon )$

(6)式の特性根の式から、

$\alpha ={\frac {c+v}{2}}$

$\beta ={\frac {\sqrt {4v-(c+v)^{2}}}{2}}$

なので、

$\rho ={\sqrt {v}}$

となる。このとき、 $v<1$ならば解の軌道は時間とともに振動しながら不動点に収束し、 $v>1$ならば解の軌道は時間とともに振動しながら発散する。

このサミュエルソンの乗数・加速度モデルの特性方程式が複素根を持つ場合に対して、J. R. ヒックスは床と天井の概念を導入した。

関連項目

• ジョン・ヒックス
• ポール・サミュエルソン

参照文献

• 西垣泰幸「非線形動学理論と経済成長，景気循環:展望 (PDF) 」 、『経済学論集』第45巻第4号、2006年、 75-100頁。
• 森誠「乗数・加速度原理と景気循環 : 2階差分方程式と位相図」、『経済学雑誌. 別冊』1999年、 46-51頁。
• Hicks, J.R. (1950). “A Contribution to the Theory of the Trade Cycle”. Oxford University Press (Oxford): 95-100. 
• Samuelson, P.A. (1939). “Interactions between the multiplier analysis and the principle of acceleration”. Review of Economic Statistics 21: 75–78.