ヴィタリの被覆定理

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ヴィタリの被覆定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/04/28 10:27 UTC 版)

数学において、ヴィタリの被覆定理（ヴィタリのひふくていり、Vitali covering lemma）は、ユークリッド空間の測度論でよく使われる組み合わせ幾何学における結果である。この定理の中間ステップにあたるヴィタリの被覆補題も独立して興味深い結果とされている。被覆定理はイタリアの数学者ジュゼッペ・ヴィタリに由来する。^[1] この定理はどんな R^d の部分集合 E も E のヴィタリ被覆から取り出された互いに素な族によって、高々ルベーグ測度0の集合を残すまで被覆できることを主張する。

ヴィタリの被覆補題

${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$

上図: 球の集まり; 緑の球は互いに素な部分族。下図: 緑の球を3倍半径にしたもので青も含めて全ての球が覆われている。

被覆補題には2つの基本的なバージョンがある、有限バージョンと無限バージョンである。この両方の補題は一般的な距離空間の設定で証明されるが、通常、これらの結果はユークリッド空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$