レリッヒ＝ディキシミエの定理

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レリッヒ＝ディキシミエの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/16 13:55 UTC 版)

関数解析学においてレリッヒ＝ディキシミエの定理（レリッヒ＝ディキシミエの定理のていり、英: Rellich–Dixmier theorem）とは、正準交換関係 (Canonical Commutation Relation, CCR) の表現の一意性に関する定理^[1][2]。CCRの表現が一定の条件を満たせば、シュレディンガー表現と呼ばれる自己共役な掛算作用素と微分作用素の組による表現、またはその直和表現とユニタリ同値であることを主張する。定理の名はその証明を与えた数学者フランツ・レリッヒ（英語版）とジャック・ディキシミエ（英語版）の名前に由来する^[3][4]。ストーン＝フォン・ノイマンの定理と同様に、量子力学の数学的基礎付けを与える。

導入

量子力学における運動量と位置の関係のように、作用素 P, Q に対し、その交換子 [P, Q] = PQ − QP が満たす関係

${\displaystyle [P,Q]=-iI\quad (i={\sqrt {-1}})}$