リプシッツ条件についての注意
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/24 21:14 UTC 版)
「ピカールの逐次近似法」の記事における「リプシッツ条件についての注意」の解説
リプシッツ条件が満たされない場合、逐次近似列 {φn(t)} が定義されても、その収束は保証されない。そのような場合として、次の例を考える。 D = { ( t , x ) ∈ R 2 : − ∞ < t < 1 , − ∞ < x < ∞ } {\displaystyle D=\{(t,x)\in \mathbb {R} ^{2}:-\infty <t<1,\,-\infty <x<\infty \}} とし、f(t, x) を f ( t , x ) = { 0 ( − ∞ < t ≤ 0 , x ∈ R ) 2 t ( 0 < t ≤ 1 , − ∞ < x < 0 ) 2 t − 4 x t ( 0 < t ≤ 1 , 0 ≤ x ≤ t 2 ) − 2 t ( 0 < t ≤ 1 , t 2 < x < ∞ ) {\displaystyle f(t,x)={\begin{cases}0&\quad (-\infty <t\leq 0,\,x\in \mathbb {R} )\\2t&\quad (0<t\leq 1,\,-\infty <x<0)\\2t-{\frac {4x}{t}}&\quad (0<t\leq 1,\,0\leq x\leq t^{2})\\-2t&\quad (0<t\leq 1,\,t^{2}<x<\infty )\end{cases}}} で定義すると、D 上で f(t, x) は連続かつ | f ( t , x ) | ≤ 2 ( ( t , x ) ∈ D ) {\displaystyle |f(t,x)|\leq 2\quad ((t,x)\in D)} で有界であるが、リプシッツ連続ではない。このとき、初期値問題 d x ( t ) d t = f ( t , x ) , x ( 0 ) = 0 {\displaystyle {\frac {dx(t)}{dt}}=f(t,x),\quad x(0)=0} を考えると、逐次近似列は φ 2 k − 1 ( t ) = t 2 , φ 2 k ( t ) = − t 2 ( k = 1 , 2 , ⋯ ) {\displaystyle \varphi _{2k-1}(t)=t^{2},\,\varphi _{2k}(t)=-t^{2}\quad (k=1,2,\cdots )} となり、収束しない。一方で、解は φ ( t ) = t 3 3 {\displaystyle \varphi (t)={\frac {t^{3}}{3}}} である。
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