リッチテンソルは対称テンソル
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:11 UTC 版)
「リーマン曲率テンソル」の記事における「リッチテンソルは対称テンソル」の解説
リーマン曲率テンソルの性質 R k j i h + R i k j h + R j i k h = 0 {\displaystyle R_{kji}{}^{h}+R_{ikj}{}^{h}+R_{jik}{}^{h}=0} に対して h = k = a とおいて縮約を行うと ∑ a ( R a j i a + R i a j a + R j i a a ) = 0 − ( ∗ ) {\displaystyle \sum _{a}(R_{aji}{}^{a}+R_{iaj}{}^{a}+R_{jia}{}^{a})=0\;\;-(*)} となる。ここで、最初の二項についてそれぞれ ∑ a R a j i a = R j i , ∑ a R i a j a = ∑ a ( − R a i j a ) = − R i j {\displaystyle \sum _{a}R_{aji}{}^{a}=R_{ji}\;,\;\;\sum _{a}R_{iaj}{}^{a}=\sum _{a}(-R_{aij}{}^{a})=-R_{ij}} が得られる。また、最後の三項目について ∑ a R j i a a = ∑ a , b R j i a b g b a = ∑ a , b ( − R j i b a ) g b a = − ∑ b , a R j i b a g a b {\displaystyle \sum _{a}R_{jia}{}^{a}=\sum _{a,b}R_{jiab}g^{ba}=\sum _{a,b}(-R_{jiba})g^{ba}=-\sum _{b,a}R_{jiba}g^{ab}} から ∑ a R j i a a = 0 {\displaystyle \sum _{a}R_{jia}{}^{a}=0} を得る。したがって、（※）から R j i − R i j + 0 = 0 {\displaystyle R_{ji}-R_{ij}+0=0} すなわち、 R j i = R i j {\displaystyle R_{ji}=R_{ij}} が導かれる。よってリッチテンソル R i j {\displaystyle R_{ij}} は対称テンソル。
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