リスク資産が複数である場合
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/04 01:10 UTC 版)
「ハンセン–ジャガナサン境界」の記事における「リスク資産が複数である場合」の解説
確率的割引ファクター m t + 1 {\displaystyle m_{t+1}} の定数とリターンベクトル R t + 1 {\displaystyle R_{t+1}} に対する直交射影を考えると、 m t + 1 = E t [ m t + 1 ] + C o v t ( m t + 1 , R t + 1 ) ( V a r t ( R t + 1 ) ) − 1 ( R t + 1 − E t [ R t + 1 ] ) + ϵ t + 1 {\displaystyle m_{t+1}=E_{t}[m_{t+1}]+\mathrm {Cov} _{t}(m_{t+1},R_{t+1}){\Big (}\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1}){\Big )}^{-1}{\Big (}R_{t+1}-E_{t}[R_{t+1}]{\Big )}+\epsilon _{t+1}} が成立する。ただし E t [ ϵ t + 1 ] = 0 {\displaystyle E_{t}[\epsilon _{t+1}]=0} かつ E t [ R t + 1 ϵ t + 1 ] = 0 {\displaystyle E_{t}[R_{t+1}\epsilon _{t+1}]=0} である。ここで m t + 1 ∗ = E t [ m t + 1 ] + C o v t ( m t + 1 , R t + 1 ) ( V a r t ( R t + 1 ) ) − 1 ( R t + 1 − E t [ R t + 1 ] ) {\displaystyle m_{t+1}^{*}=E_{t}[m_{t+1}]+\mathrm {Cov} _{t}(m_{t+1},R_{t+1}){\Big (}\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1}){\Big )}^{-1}{\Big (}R_{t+1}-E_{t}[R_{t+1}]{\Big )}} V a r t ( m t + 1 ) = V a r t ( m t + 1 ∗ ) + V a r t ( ϵ t + 1 ) ≥ V a r t ( m t + 1 ∗ ) {\displaystyle \mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})=\mathrm {Var} _{t}(m_{t+1}^{*})+\mathrm {Var} _{t}(\epsilon _{t+1})\geq \mathrm {Var} _{t}(m_{t+1}^{*})} である。さらに C o v t ( m t + 1 , R t + 1 ) = E t [ m t + 1 R t + 1 ] − E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] = 1 − E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] {\displaystyle \mathrm {Cov} _{t}(m_{t+1},R_{t+1})=E_{t}[m_{t+1}R_{t+1}]-E_{t}[m_{t+1}]E_{t}[R_{t+1}]=\mathbf {1} -E_{t}[m_{t+1}]E_{t}[R_{t+1}]} なので結局 V a r t ( m t + 1 ∗ ) = ( 1 − E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] ) ′ ( V a r t ( R t + 1 ) ) − 1 ( 1 − E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] ) {\displaystyle \mathrm {Var} _{t}(m_{t+1}^{*})={\Big (}\mathbf {1} -E_{t}[m_{t+1}]E_{t}[R_{t+1}]{\Big )}^{\prime }{\Big (}\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1}){\Big )}^{-1}{\Big (}\mathbf {1} -E_{t}[m_{t+1}]E_{t}[R_{t+1}]{\Big )}} V a r t ( m t + 1 ) ≥ ( 1 − E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] ) ′ ( V a r t ( R t + 1 ) ) − 1 ( 1 − E t [ m t + 1 ] E t [ R t + 1 ] ) {\displaystyle \mathrm {Var} _{t}(m_{t+1})\geq {\Big (}\mathbf {1} -E_{t}[m_{t+1}]E_{t}[R_{t+1}]{\Big )}^{\prime }{\Big (}\mathrm {Var} _{t}(R_{t+1}){\Big )}^{-1}{\Big (}\mathbf {1} -E_{t}[m_{t+1}]E_{t}[R_{t+1}]{\Big )}} が得られる。
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