ポワソンの和公式

ウィキペディア

ポアソン和公式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 14:37 UTC 版)

数学においてポアソン和公式（ポアソンわこうしき、英語: Poisson summation formula）とはある関数列の無限和とその関数列をフーリエ変換したものの無限和が等しいことを主張する公式である。シメオン・ドニ・ポアソン(Siméon Denis Poisson)によって発見された。

証明

以下の式変形によって示される。

${\begin{aligned}\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(k)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\bigg (}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,e^{-i2\pi kx}dx{\bigg )}=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\underbrace {{\Bigg (}\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{-i2\pi kx}{\Bigg )}} _{\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)}dx\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\bigg (}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x-n)dx{\bigg )}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n)\end{aligned}}$

ここで、

• ${\hat {f}}(k)$ は $f(x)$ のフーリエ変換
• $\delta (x)$ はデルタ関数

である。

応用

テータ関数、リーマンゼータ関数に関連した証明に応用される。

一般化

セルバーグ跡公式は本質的に一般化となっている。

関連項目

• フーリエ変換
• テータ関数
• リーマンゼータ関数
• シメオン・ドニ・ポアソン