ハドヴィガーの定理

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ハドヴィガーの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/11 05:47 UTC 版)

積分幾何学（もしくは幾何学的確率論）において、ハドヴィガーの定理（ハドヴィガーのていり、英: Hadwiger's theorem）は Rⁿ における凸体への付値 (測度論)の特徴付けをする定理である。ヒューゴ・ハドヴィガーによって証明された。

導入

付値

Kⁿ を、Rⁿ における全てのコンパクト凸集合の集まりとする。

付値とは、関数 v:Kⁿ → R であって、 v(∅) = 0 かつ、S∪T∈Kⁿ である任意の S,T ∈Kⁿ に対し

$v(S)+v(T)=v(S\cap T)+v(S\cup T)~$

n = 2 のとき、凸多角形に対するシュタイナーの公式を図解したもの。多角形 K と一定半径の円板 B の t 倍とのミンコフスキー和の面積は、次の3種の図形の面積の合計で求められる：(1) 元の多角形（黄色）、(2) 面積が多角形の周長および t に比例する図形（青紫色）、(3) 面積が円板の面積および t の2乗に比例する図形（緑色）。

quermassintegral W_j: Kⁿ → R は、シュタイナーの公式

$\mathrm {Vol} _{n}(K+tB)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}W_{j}(K)t^{j}~$ この項目は、幾何学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。