ニュートンの不等式とは？わかりやすく解説

ニュートンの不等式（ニュートンのふとうしき、英: Newton's inequalities）は、数学における対称式に関する不等式で、アイザックニュートンの名をとって命名された。 $n$ 個の実数 $a 1, a 2, \dots, a n$ に対し、これの $k$ 次対称式を $e k$ とおく。次に、次の式で与えられる基本対称平均

S_{k}={\frac {e_{k}}{\binom {n}{k}}}

は、次の不等式を満たす。ただし、 ${\binom {n}{k}}$ は二項係数である。

S_{k-1}S_{k+1}\leq {S_{k}}^{2}.

等号成立の必要十分条件は、 $a 1, a 2, \dots, a n$ が非負でかつすべて互いに等しいとき。

$S 1$ は算術平均であり、 $S n$ は幾何平均の $n$ 乗である。

参考文献

Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.; Pólya, G. (1952). Inequalities. Cambridge University Press. ISBN 978-0521358804
Newton, Isaac (1707). Arithmetica universalis: sive de compositione et resolutione arithmetica liber
D.S. Bernstein Matrix Mathematics: Theory, Facts, and Formulas (2009 Princeton) p.55
Maclaurin, C. (1729). “A second letter to Martin Folks, Esq.; concerning the roots of equations, with the demonstration of other rules in algebra”. Philosophical Transactions 36 (407-416): 59-96. doi:10.1098/rstl.1729.0011.
Whiteley, J.N. (1969). “On Newton's Inequality for Real Polynomials”. The American Mathematical Monthly (The American Mathematical Monthly, Vol. 76, No. 8) 76 (8): 905-909. doi:10.2307/2317943. JSTOR 2317943.
Niculescu, Constantin (2000). “A New Look at Newton's Inequalities”. Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics 1 (2): Article 17.

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