スローンとプラウフの超階乗
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/08 02:36 UTC 版)
「超階乗」の記事における「スローンとプラウフの超階乗」の解説
ニール・スローンとサイモン・プラウフは1995年に The Encyclopedia of Integer Sequences において、最初の n 個の階乗の積として超階乗を定義した。 n $ = sf ( n ) := ∏ k = 1 n k ! . {\displaystyle n\$=\operatorname {sf} (n):=\prod _{k=1}^{n}k!.} この超階乗は 1, 2, …, n の差積（ファンデルモンド行列式）としても与えられる: sf ( n ) = Δ ( 1 , 2 , … , n ) = ∏ 0 ≤ i < j ≤ n ( j − i ) . {\displaystyle \operatorname {sf} (n)=\Delta (1,2,\dotsc ,n)=\prod _{0\leq i<j\leq n}(j-i).} この超階乗は次の式を満たす。ここで G はバーンズのG関数、H はハイパー階乗である。 sf ( n ) = G ( n + 2 ) = ( n ! ) n − 1 H ( n − 1 ) . {\displaystyle \operatorname {sf} (n)=G(n+2)={\frac {(n!)^{n-1}}{H(n-1)}}.} 最初の幾つかの値は次のように与えられる。 1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, … (A000178)
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