スタイナーの定理

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平行軸の定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/13 05:31 UTC 版)

平行軸の定理（ホイヘンス–スタイナーの定理もしくは単にスタイナーの定理とも言われる^[1]。クリスティアーン・ホイヘンスとヤコブ・スタイナーに由来）とは、剛体の重心を通る回転軸周りの慣性モーメントが与えられたとき、その軸と平行な任意の軸周りの慣性モーメントや断面二次モーメントを求める定理である。

質量慣性モーメント

ある軸周りの質量慣性モーメントは、重心を通る平行軸周りの質量慣性モーメントから求めることができる。

質量 m の物体がその重心を通る軸 z を中心に回転するようになっているとする。物体はこの軸に対して慣性モーメント I_cm を持つ。平行軸の定理は、軸 z に平行でそこから垂直方向に d だけ動かした新たな軸 z′ を中心にして物体を回転させると、この軸 z′ に対する慣性モーメント I は

${\displaystyle I=I_{\mathrm {cm} }+md^{2}}$

断面慣性モーメントに対する平行軸の定理

導出

一般性を失うことなく、デカルト座標系において重心は原点にあり、重心を通る回転軸は z 軸に一致し、それと平行な新しい回転軸 z′ は x 軸に沿って d 離れていると仮定する。z 軸に対する慣性モーメントは

${\displaystyle I_{\mathrm {cm} }=\int (x^{2}+y^{2})\,dm}$

ある点の周りの物体の極慣性モーメントは、質量中心の周りの極慣性モーメントから決定できる。

平面と平行に動く剛体の質量特性は、平面上にある剛体の質量中心 R = (x, y) と、R を通りこの平面に垂直な軸周りの極慣性モーメント I_R によって定義される。平行軸の定理は任意の点 S の周りの慣性モーメント I_S と質量中心 R を中心とする慣性モーメント I_R の間に便利な関係を与える。

質量中心 R には

${\displaystyle \int _{V}\rho (\mathbf {r} )(\mathbf {r} -\mathbf {R} )\,dV=0}$

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