イフ合同心

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イフ合同心

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/10/20 03:36 UTC 版)

幾何学において、イフ合同心（いふごうどうしん、英: Yff center of congruence）は三角形の中心の一つである。1987年、ピーター・イフの三角形の中心に関する研究で発見された。

二等辺化線

Aの二等辺化線（isoscelizer）とは、それぞれAB,AC上の点P₁, Q₁について、△AP₁Q₁が二等辺三角形となるとき直線P₁ Q₁のことを指す。Aの内角の二等分線に垂直である。1963年、ピーター・イフによって導入された。

Yff central triangle

  基準三角形△ABC

  △A'P₂Q₃ ≅   △Q₁B'P₃ ≅   △P₁Q₂C' ≅

  △A'B'C' (Yff central triangle)

△ABCについて 、A,B,Cの二等辺化線をそれぞれP₁Q₁,P₂Q₂,P₃Q₃ とする。また、P₁Q₁,P₂Q₂,P₃Q₃からなる三角形を△A'B'C' とする。4つの三角形△A'P₂Q₃, △Q₁B'P₃, △P₁Q₂C',△A'B'C' は常に相似である。

△A'P₂Q₃, △Q₁B'P₃, △P₁Q₂C',△A'B'C' が合同 であるとき、△A'B'C' はYff central triangleと呼ばれる。Yff central triangleの外接円はYff central circleと呼ばれる。

イフ合同心

Yff central triangleのアニメーション。イフ合同心はYff central triangleが一点に退化したものである。

△ABCについて P₁Q₁, P₂Q₂, P₃Q₃ がYff central triangle△A'B'C' を成すようにとる。二等辺化線 P₁Q₁, P₂Q₂, P₃Q₃を、△A'P₂Q₃, △Q₁B'P₃, △P₁Q₂C'が合同を保つように、平行に動かすと、△A'B'C' が点に退化するときがある。この点を△ABCのイフ合同心という。

性質

△ABC はYff central triangleの傍接円の共通外接線が成す三角形となる。

• イフ合同心はEncyclopedia of Triangle CentersでX(174)として紹介されており、三線座標は以下の式で与えられる。 $$\sec {\frac {A}{2}}:\sec {\frac {B}{2}}:\sec {\frac {C}{2}}$$
  イフ合同心の一般化

  △ABCと任意の点Pについて、BC, CA, AB上に以下を満たす点D, E, Fをとる。 $$\angle BPD=\angle DPC,\quad \angle CPE=\angle EPA,\quad \angle APF=\angle FPB.$$