アルティン・シュライヤー拡大

ウィキペディア

アルティン・シュライアー理論

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/08/30 06:21 UTC 版)

数学において、アルティン・シュライアー理論 (Artin–Schreier theory) は、標数 p の体の p 次ガロワ拡大の記述を与える。従ってそれはクンマー理論では記述できない場合を扱う。

アルティン・シュライアー拡大

K を標数 p の体とし、a をこの体のある元とする。多項式 X^p − X + a の分解体への K の拡大をアルティン・シュライアー拡大と呼ぶ。b がこの多項式の 1 つの根であれば、0 から p − 1 までの i に対して b + i がその多項式の全ての根であり（cf. フロベニウス準同型）、それらは相異なる。すると 2 つの場合があり得る。

• 根の 1 つが K に属していれば、すべての根は K に属しており、多項式は K 上既に分解している。
• そうでないとき、つまり根の 1 つが K に属していなければ、どの根も K に属していない、言い換えると a は x ∈ K に対して x − x^p の形ではない。このとき多項式 X^p − X + a は K 上既約である。その分解体（および根体） K[b] は K の p 次巡回拡大であり、拡大のガロワ群の生成元（の 1 つ）は $b\mapsto b+1$ この項目は、抽象代数学に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。