この母函数の一つの見方について
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/02/20 06:07 UTC 版)
「二項型多項式列」の記事における「この母函数の一つの見方について」の解説
ふたつの形式冪級数 ∑ n = 0 ∞ a n n ! t n , ∑ n = 0 ∞ b n n ! t n {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{a_{n} \over n!}t^{n},\quad \sum _{n=0}^{\infty }{b_{n} \over n!}t^{n}} の積はコーシー積 c n = ∑ k = 0 n ( n k ) a k b n − k {\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a_{k}b_{n-k}} で与えられる。x をこのような冪級数の族を添字付ける助変数と考えれば、二項型の等式は x + y で添字付けられた冪級数が、x, y のそれぞれで添字付けられた冪級数の積になることを実際には言っているのだから、x は和を積に写す函数、つまり指数函数 g ( t ) x = e x f ( t ) {\displaystyle g(t)^{x}=e^{xf(t)}} の引数であると捉えられる。ただし、f(t) は上に書いた形である。
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